Номер 619, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 619, страница 243.

619 В амфитеатре концертного зала 15 рядов, и число кресел в каждом ряду увеличивается на 2 по сравнению с предыдущим. В последнем ряду 35 кресел. Сколько кресел в первом ряду? Сколько всего кресел в амфитеатре?

Данная задача описывает арифметическую прогрессию, где количество кресел в каждом ряду является членом этой прогрессии.

Обозначим:

• $a_1$ — количество кресел в первом ряду.
• $n$ — общее количество рядов, $n=15$.
• $d$ — разность прогрессии (на сколько увеличивается количество кресел в каждом следующем ряду), $d=2$.
• $a_{15}$ — количество кресел в последнем, 15-м ряду, $a_{15}=35$.

Сколько кресел в первом ряду?

Для нахождения количества кресел в первом ряду ($a_1$) используем формулу для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Мы знаем, что в 15-м ряду 35 кресел, то есть $a_{15} = 35$. Подставим известные значения в формулу:

$35 = a_1 + (15-1) \cdot 2$

$35 = a_1 + 14 \cdot 2$

$35 = a_1 + 28$

Отсюда выразим $a_1$:

$a_1 = 35 - 28$

$a_1 = 7$

Ответ: в первом ряду 7 кресел.

Сколько всего кресел в амфитеатре?

Для нахождения общего числа кресел в амфитеатре нужно найти сумму всех членов арифметической прогрессии от 1-го до 15-го. Используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Нам известны все необходимые компоненты: $a_1 = 7$ (из предыдущего пункта), $a_{15} = 35$ и $n=15$. Подставим их в формулу:

$S_{15} = \frac{7 + 35}{2} \cdot 15$

$S_{15} = \frac{42}{2} \cdot 15$

$S_{15} = 21 \cdot 15$

$S_{15} = 315$

Ответ: всего в амфитеатре 315 кресел.