Номер 616, страница 242 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 616, страница 242.

616 Треугольные числа изображаются треугольниками, составленными из шаров (см. рис. 4.2). Определите:

a) сколько шаров в двадцать пятом треугольнике;

б) в каком по счёту треугольнике 55 шаров.

Треугольные числа — это числа, которые представляют собой сумму последовательных натуральных чисел, начиная с 1. N-ое треугольное число, обозначаемое $T_n$, можно найти по формуле суммы арифметической прогрессии:

$T_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

Воспользуемся этой формулой для решения задачи.

а) сколько шаров в двадцать пятом треугольнике;

Чтобы найти количество шаров в 25-м треугольнике, нужно вычислить 25-е треугольное число ($T_{25}$). Подставим $n=25$ в формулу:
$T_{25} = \frac{25 \cdot (25+1)}{2} = \frac{25 \cdot 26}{2} = 25 \cdot 13 = 325$.

Ответ: 325 шаров.

б) в каком по счету треугольнике 55 шаров.

Здесь известно количество шаров ($T_n = 55$) и нужно найти номер треугольника $n$. Составим и решим уравнение:
$\frac{n(n+1)}{2} = 55$
Умножим обе части на 2:
$n(n+1) = 110$
Это уравнение можно решить подбором двух последовательных натуральных чисел, произведение которых равно 110. Такими числами являются 10 и 11, значит $n=10$.
Также можно решить его как квадратное уравнение $n^2 + n - 110 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441 = 21^2$.
Корни уравнения:
$n_{1} = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$n_{2} = \frac{-1 - 21}{2} = \frac{-22}{2} = -11$
Поскольку номер треугольника $n$ должен быть положительным числом, решением является $n=10$.

Ответ: в 10-м треугольнике.