Номер 610, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.2. Арифметическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 610, страница 238.

610 а) Пусть последовательность $ (a_n) $ — арифметическая прогрессия. Докажите, что если к каждому её члену прибавить одно и то же число, то полученная последовательность также будет арифметической прогрессией. Конкретизируйте это примером.

б) Докажите, что если каждый член некоторой арифметической прогрессии $ (a_n) $ умножить на одно и то же число, то полученная последовательность также будет арифметической прогрессией. Конкретизируйте это примером.

а)

По определению, последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией, если для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$, где $d$ — некоторое число, называемое разностью прогрессии. Это равносильно тому, что разность между любым последующим и предыдущим членом постоянна: $a_{n+1} - a_n = d$.

Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$. Создадим новую последовательность $(b_n)$, прибавив к каждому члену последовательности $(a_n)$ одно и то же число $c$. То есть, для любого $n$ член новой последовательности $b_n$ равен $a_n + c$.

Чтобы доказать, что $(b_n)$ также является арифметической прогрессией, нужно показать, что разность между её соседними членами постоянна. Найдем разность $b_{n+1} - b_n$:

$b_{n+1} - b_n = (a_{n+1} + c) - (a_n + c) = a_{n+1} + c - a_n - c = a_{n+1} - a_n$

Так как $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$, то $a_{n+1} - a_n = d$. Следовательно,

$b_{n+1} - b_n = d$

Разность соседних членов последовательности $(b_n)$ постоянна и равна $d$. Это означает, что последовательность $(b_n)$ является арифметической прогрессией с той же разностью $d$, что и исходная последовательность.

Пример:

Рассмотрим арифметическую прогрессию $(a_n)$: 3, 7, 11, 15, ...

Её первый член $a_1=3$, а разность $d = 7-3=4$.

Прибавим к каждому её члену число $c=5$:

$b_1 = 3 + 5 = 8$
$b_2 = 7 + 5 = 12$
$b_3 = 11 + 5 = 16$
$b_4 = 15 + 5 = 20$

Получили новую последовательность $(b_n)$: 8, 12, 16, 20, ...

Проверим, является ли она арифметической прогрессией. Найдем разность соседних членов:

$12 - 8 = 4$
$16 - 12 = 4$
$20 - 16 = 4$

Разность постоянна и равна 4. Таким образом, полученная последовательность является арифметической прогрессией с той же разностью, что и исходная.

Ответ: Доказано, что если к каждому члену арифметической прогрессии прибавить одно и то же число, то получится арифметическая прогрессия с той же разностью.

б)

Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$, то есть $a_{n+1} - a_n = d$ для любого натурального $n$.

Создадим новую последовательность $(b_n)$, умножив каждый член последовательности $(a_n)$ на одно и то же число $k \ne 0$. То есть, для любого $n$ член новой последовательности $b_n$ равен $k \cdot a_n$. (Если $k=0$, то все члены новой последовательности равны 0, что также является арифметической прогрессией с разностью 0).

Чтобы доказать, что $(b_n)$ является арифметической прогрессией, найдем разность между её соседними членами $b_{n+1} - b_n$:

$b_{n+1} - b_n = k \cdot a_{n+1} - k \cdot a_n = k(a_{n+1} - a_n)$

Так как $a_{n+1} - a_n = d$, то

$b_{n+1} - b_n = k \cdot d$

Разность соседних членов последовательности $(b_n)$ постоянна и равна $k \cdot d$. Это означает, что последовательность $(b_n)$ является арифметической прогрессией с новой разностью $d' = k \cdot d$.

Пример:

Рассмотрим ту же арифметическую прогрессию $(a_n)$: 3, 7, 11, 15, ...

Её разность $d=4$.

Умножим каждый её член на число $k=2$:

$b_1 = 3 \cdot 2 = 6$
$b_2 = 7 \cdot 2 = 14$
$b_3 = 11 \cdot 2 = 22$
$b_4 = 15 \cdot 2 = 30$

Получили новую последовательность $(b_n)$: 6, 14, 22, 30, ...

Проверим, является ли она арифметической прогрессией. Найдем разность соседних членов:

$14 - 6 = 8$
$22 - 14 = 8$
$30 - 22 = 8$

Разность постоянна и равна 8. Таким образом, полученная последовательность является арифметической прогрессией. Её новая разность $d' = 8$, что соответствует произведению исходной разности на число $k$: $d' = d \cdot k = 4 \cdot 2 = 8$.

Ответ: Доказано, что если каждый член арифметической прогрессии умножить на одно и то же число $k$, то получится арифметическая прогрессия с разностью, умноженной на $k$.