Номер 605, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.2. Арифметическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 605, страница 238.

605 Начиная с какого номера члены арифметической прогрессии $ -101; -96; -91; ... $ положительны? Подумайте, как можно убедиться в том, что ваш ответ верен.

Начиная с какого номера члены арифметической прогрессии –101; –96; –91; ... положительны?

Данная последовательность является арифметической прогрессией $(a_n)$. Ее первый член $a_1 = -101$, а второй член $a_2 = -96$.

Сначала определим разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = -96 - (-101) = -96 + 101 = 5$.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим известные значения, чтобы получить формулу для данной прогрессии: $a_n = -101 + (n-1) \cdot 5$ $a_n = -101 + 5n - 5$ $a_n = 5n - 106$.

Чтобы найти номер $n$, с которого члены прогрессии становятся положительными, необходимо решить неравенство $a_n > 0$: $5n - 106 > 0$ $5n > 106$ $n > \frac{106}{5}$ $n > 21.2$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее данному неравенству, — это $n = 22$.

Ответ: 22.

Подумайте, как можно убедиться в том, что ваш ответ верен.

Чтобы убедиться в правильности ответа, нужно проверить, что 22-й член прогрессии действительно является первым положительным членом. Для этого достаточно вычислить 21-й и 22-й члены и сравнить их знаки. 21-й член должен быть отрицательным (или равным нулю), а 22-й — положительным.

Воспользуемся выведенной ранее формулой $a_n = 5n - 106$.

Вычислим 21-й член ($n=21$): $a_{21} = 5 \cdot 21 - 106 = 105 - 106 = -1$. Этот член является отрицательным.

Вычислим 22-й член ($n=22$): $a_{22} = 5 \cdot 22 - 106 = 110 - 106 = 4$. Этот член является положительным.

Поскольку член прогрессии $a_{21}$ отрицателен, а $a_{22}$ положителен, это подтверждает, что члены прогрессии становятся положительными именно начиная с 22-го номера.

Ответ: Для проверки необходимо рассчитать значения членов прогрессии с номерами 21 и 22. Расчет показывает, что $a_{21} = -1$ (отрицательный), а $a_{22} = 4$ (положительный), что доказывает правильность найденного ответа.