Номер 600, страница 237 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.2. Арифметическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 600, страница 237.

г) Изобразите точками координатной плоскости десять членов последовательности ($h_n$).

600 В школе-новостройке сейчас учатся 200 учеников. Допустим, что каждый год число учащихся будет увеличиваться на 20 человек.

а) Запишите формулу для вычисления числа учащихся в школе через $n$ лет.

б) Сколько учащихся будет в школе через 5 лет, если тенденция сохранится?

в) Школа рассчитана на обучение 340 учащихся. Через сколько лет будет достигнута норма?

г) Закончите построение столбчатой диаграммы, показав на ней прирост числа учащихся в течение следующих пяти лет (рис. 4.6).

Рис. 4.6

а) Запишите формулу для вычисления числа учащихся в школе через n лет.

Пусть $a_n$ — это число учащихся в школе через $n$ лет. Изначально, в текущий момент (через 0 лет, то есть при $n=0$), в школе учатся 200 учеников. Таким образом, начальный член последовательности $a_0 = 200$.

По условию, каждый год число учащихся увеличивается на 20 человек. Это означает, что последовательность числа учащихся $a_n$ является арифметической прогрессией. Разность этой прогрессии $d = 20$.

Формула для n-го члена арифметической прогрессии, если нумерация начинается с нуля, имеет вид:

$a_n = a_0 + n \cdot d$

Подставим известные значения $a_0 = 200$ и $d = 20$ в формулу:

$a_n = 200 + 20n$

Эта формула позволяет вычислить число учащихся в школе через любое количество лет $n$.

Ответ: $a_n = 200 + 20n$

б) Сколько учащихся будет в школе через 5 лет, если тенденция сохранится?

Чтобы найти число учащихся через 5 лет, воспользуемся формулой, полученной в пункте а), подставив в нее $n=5$.

$a_5 = 200 + 20 \cdot 5$

$a_5 = 200 + 100$

$a_5 = 300$

Следовательно, через 5 лет в школе будет 300 учащихся.

Ответ: 300 учащихся.

в) Школа рассчитана на обучение 340 учащихся. Через сколько лет будет достигнута норма?

Нам необходимо найти, через сколько лет $n$ число учащихся $a_n$ достигнет 340. Для этого приравняем формулу числа учащихся к 340 и решим получившееся уравнение относительно $n$.

$a_n = 340$

$200 + 20n = 340$

Вычтем 200 из обеих частей уравнения:

$20n = 340 - 200$

$20n = 140$

Разделим обе части на 20:

$n = \frac{140}{20}$

$n = 7$

Таким образом, проектная норма в 340 учащихся будет достигнута через 7 лет.

Ответ: через 7 лет.

г) Закончите построение столбчатой диаграммы, показав на ней прирост числа учащихся в течение следующих пяти лет (рис. 4.6).

На исходной диаграмме показаны столбцы для $n=0$ (200 учащихся) и $n=1$ (220 учащихся). Чтобы закончить построение, нужно рассчитать и добавить столбцы, показывающие число учащихся для следующих лет до $n=5$ включительно.

Вычислим значения числа учащихся для $n=2, 3, 4, 5$ по нашей формуле $a_n = 200 + 20n$:

Через 2 года ($n=2$): $a_2 = 200 + 20 \cdot 2 = 240$ учащихся.

Через 3 года ($n=3$): $a_3 = 200 + 20 \cdot 3 = 260$ учащихся.

Через 4 года ($n=4$): $a_4 = 200 + 20 \cdot 4 = 280$ учащихся.

Через 5 лет ($n=5$): $a_5 = 200 + 20 \cdot 5 = 300$ учащихся.

Для завершения диаграммы необходимо на оси $n$ отметить значения 2, 3, 4, 5 и построить для них столбцы, высоты которых будут соответствовать вычисленным значениям: 240, 260, 280 и 300. Каждый следующий столбец будет на 20 единиц выше предыдущего.

Ответ: Необходимо достроить на диаграмме столбцы для $n=2, 3, 4, 5$, высоты которых по оси $(a_n)$ будут равны 240, 260, 280 и 300 соответственно.