Номер 601, страница 237 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.2. Арифметическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 601, страница 237.

601 a) В арифметической прогрессии $(a_n)$ известны $a_{15} = 5$ и $a_{20} = 40$. Найдите разность и первый член этой арифметической прогрессии.

б) В арифметической прогрессии $(x_n)$ $x_{20} = 1,4$ и $x_{30} = 2,4$. Найдите разность и первый член этой арифметической прогрессии.

а)

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, в которой известны два члена: $a_{15} = 5$ и $a_{20} = 40$.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Используя эту формулу, мы можем записать систему из двух уравнений:

$\begin{cases} a_{15} = a_1 + (15-1)d \\ a_{20} = a_1 + (20-1)d \end{cases}$

Подставим известные значения:

$\begin{cases} 5 = a_1 + 14d \\ 40 = a_1 + 19d \end{cases}$

Для нахождения разности $d$ вычтем первое уравнение из второго:

$(a_1 + 19d) - (a_1 + 14d) = 40 - 5$

$a_1 + 19d - a_1 - 14d = 35$

$5d = 35$

$d = \frac{35}{5} = 7$

Теперь, зная разность $d$, найдем первый член $a_1$. Подставим значение $d=7$ в первое уравнение системы ($5 = a_1 + 14d$):

$5 = a_1 + 14 \cdot 7$

$5 = a_1 + 98$

$a_1 = 5 - 98$

$a_1 = -93$

Ответ: разность прогрессии равна 7, первый член равен -93.

б)

Дана арифметическая прогрессия $(x_n)$, в которой известны $x_{20} = 1,4$ и $x_{30} = 2,4$.

Действуем аналогично предыдущему пункту. Запишем систему уравнений, используя формулу n-го члена $x_n = x_1 + (n-1)d$:

$\begin{cases} x_{20} = x_1 + (20-1)d \\ x_{30} = x_1 + (30-1)d \end{cases}$

Подставим известные значения:

$\begin{cases} 1,4 = x_1 + 19d \\ 2,4 = x_1 + 29d \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти разность $d$:

$(x_1 + 29d) - (x_1 + 19d) = 2,4 - 1,4$

$x_1 + 29d - x_1 - 19d = 1$

$10d = 1$

$d = \frac{1}{10} = 0,1$

Теперь найдем первый член $x_1$, подставив значение $d=0,1$ в первое уравнение ($1,4 = x_1 + 19d$):

$1,4 = x_1 + 19 \cdot 0,1$

$1,4 = x_1 + 1,9$

$x_1 = 1,4 - 1,9$

$x_1 = -0,5$

Ответ: разность прогрессии равна 0,1, первый член равен -0,5.