Номер 608, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.2. Арифметическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 608, страница 238.

Доказываем (608–610)

608 Докажите в общем случае свойство, сформулированное на с. 233: последовательность, заданная формулой $a_n = kn + b$, где $k$ и $b$ — некоторые числа, является арифметической прогрессией. Чему равна разность арифметической прогрессии, заданной этой формулой?

Подсказка. Используйте пример 5 в качестве образца рассуждения.

По определению, числовая последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией, если для всех натуральных $n$ разность между последующим и предыдущим членами последовательности постоянна. Обозначим эту разность через $d$. Таким образом, должно выполняться условие: $a_{n+1} - a_n = d$, где $d$ — константа.

Нам дана последовательность, заданная формулой $a_n = kn + b$, где $k$ и $b$ — некоторые числа.

Чтобы доказать, что эта последовательность является арифметической прогрессией, найдем разность ее $(n+1)$-го и $n$-го членов.

Сначала выразим $(n+1)$-й член последовательности, подставив в исходную формулу вместо $n$ выражение $(n+1)$:

$a_{n+1} = k(n+1) + b = kn + k + b$

Теперь вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:

$a_{n+1} - a_n = (kn + k + b) - (kn + b)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$kn + k + b - kn - b = k$

В результате мы получили, что разность $a_{n+1} - a_n$ равна $k$. Поскольку $k$ — это заданное число (константа), не зависящее от $n$, разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Это доказывает, что последовательность, заданная формулой $a_n = kn + b$, является арифметической прогрессией.

Из этого доказательства также следует, что разность данной арифметической прогрессии равна $k$.

Ответ: разность арифметической прогрессии равна $k$.