Номер 611, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.2. Арифметическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 611, страница 238.

611 Исследуем

1) Рассмотрите арифметическую прогрессию $4; 8; 12; ...$ . Возьмите какой-нибудь член этой прогрессии, кроме первого, и убедитесь в том, что он равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.

2) Докажите, что любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего члена.

3) Найдите члены последовательности, обозначенные буквами, если известно, что эта последовательность — арифметическая прогрессия:

a) $a_1; 12; a_3; 18; a_5; a_6; ...$

б) $-7; a_2; -17; ...; a_{15}; -82; a_{17}; ...$

1)

Рассмотрим заданную арифметическую прогрессию: 4; 8; 12; ... .

Первый член прогрессии $a_1 = 4$. Найдем разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = 8 - 4 = 4$.

Возьмем, к примеру, второй член прогрессии, $a_2 = 8$. Соседними с ним являются первый член $a_1 = 4$ и третий член $a_3$. Найдем $a_3$: $a_3 = a_2 + d = 8 + 4 = 12$.

Найдем среднее арифметическое соседних с $a_2$ членов:

$\frac{a_1 + a_3}{2} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Полученное значение равно второму члену прогрессии: $8 = a_2$.

Теперь возьмем третий член прогрессии, $a_3 = 12$. Соседними с ним являются второй член $a_2 = 8$ и четвертый член $a_4$. Найдем $a_4$: $a_4 = a_3 + d = 12 + 4 = 16$.

Найдем среднее арифметическое соседних с $a_3$ членов:

$\frac{a_2 + a_4}{2} = \frac{8 + 16}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Полученное значение равно третьему члену прогрессии: $12 = a_3$.

Таким образом, мы убедились на примерах, что член прогрессии (кроме первого) равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.

Ответ: Проверка выполнена. Например, для члена $a_2=8$ среднее арифметическое его соседей $(4+12)/2=8$, что равно $a_2$. Для члена $a_3=12$ среднее арифметическое его соседей $(8+16)/2=12$, что равно $a_3$.

2)

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$. Нужно доказать, что для любого члена прогрессии $a_n$ при $n \ge 2$ выполняется равенство $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$.

По определению арифметической прогрессии, каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом $d$ (разностью прогрессии). Это можно записать в виде формул:

$a_{n+1} = a_n + d$ (для последующего члена)

$a_n = a_{n-1} + d$ (для текущего члена)

Из второго равенства выразим предыдущий член $a_{n-1}$: $a_{n-1} = a_n - d$.

Теперь найдем среднее арифметическое предыдущего ($a_{n-1}$) и последующего ($a_{n+1}$) членов:

$\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Подставим в это выражение $a_{n-1} = a_n - d$ и $a_{n+1} = a_n + d$:

$\frac{(a_n - d) + (a_n + d)}{2} = \frac{a_n - d + a_n + d}{2} = \frac{2a_n}{2} = a_n$

Таким образом, мы доказали, что $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$, что и требовалось.

Ответ: Утверждение доказано.

3)

а) Дана последовательность $a_1; 12; a_3; 18; a_5; a_6; ...$.

Известно, что $a_2 = 12$ и $a_4 = 18$.

Используя свойство арифметической прогрессии, доказанное в пункте 2, найдем $a_3$ как среднее арифметическое его соседей $a_2$ и $a_4$:

$a_3 = \frac{a_2 + a_4}{2} = \frac{12 + 18}{2} = \frac{30}{2} = 15$.

Теперь мы знаем три последовательных члена: 12, 15, 18. Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_3 - a_2 = 15 - 12 = 3$.

Теперь можем найти остальные неизвестные члены:

$a_1 = a_2 - d = 12 - 3 = 9$.

$a_5 = a_4 + d = 18 + 3 = 21$.

$a_6 = a_5 + d = 21 + 3 = 24$.

Ответ: $a_1 = 9, a_3 = 15, a_5 = 21, a_6 = 24$.

б) Дана последовательность $-7; a_2; -17; ...; a_{15}; -82; a_{17}; ...$.

Известно, что $a_1 = -7$ и $a_3 = -17$.

Найдем $a_2$ как среднее арифметическое его соседей $a_1$ и $a_3$:

$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} = \frac{-7 + (-17)}{2} = \frac{-24}{2} = -12$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = -12 - (-7) = -12 + 7 = -5$.

Из записи `...; $a_{15}$; -82; $a_{17}$; ...` следует, что $a_{16} = -82$. Проверим это, используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$a_{16} = -7 + (16-1) \cdot (-5) = -7 + 15 \cdot (-5) = -7 - 75 = -82$. Предположение верно.

Теперь найдем оставшиеся неизвестные члены $a_{15}$ и $a_{17}$:

$a_{15} = a_{16} - d = -82 - (-5) = -82 + 5 = -77$.

$a_{17} = a_{16} + d = -82 + (-5) = -87$.

Ответ: $a_2 = -12, a_{15} = -77, a_{17} = -87$.