Номер 614, страница 242 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 614, страница 242.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (614–616)

614 а) Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 500.

б) Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до $n$.

а) Требуется найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 500. Данная последовательность чисел $1, 2, 3, \ldots, 500$ представляет собой арифметическую прогрессию.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Для данной прогрессии имеем: первый член $a_1 = 1$, последний член $a_n = 500$, и количество членов $n = 500$.

Подставим эти значения в формулу:

$S_{500} = \frac{1 + 500}{2} \cdot 500$

Выполним вычисления:

$S_{500} = \frac{501}{2} \cdot 500 = 501 \cdot 250 = 125250$

Ответ: 125250

б) Требуется найти сумму всех натуральных чисел от 1 до $n$. Это задача на вывод общей формулы. Последовательность чисел $1, 2, 3, \ldots, n$ является арифметической прогрессией.

Используем ту же формулу для суммы арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В этом общем случае: первый член $a_1 = 1$, последний член $a_n = n$, и количество членов также равно $n$.

Подставим эти значения в формулу:

$S_n = \frac{1 + n}{2} \cdot n$

Эту формулу принято записывать в виде $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$. Она является универсальной для нахождения суммы первых $n$ натуральных чисел.

Ответ: $\frac{n(n+1)}{2}$