Страница 242 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

ВЫЧИСЛЯЕМ ПО ФОРМУЛЕ (612–613)

612 Запишите сумму первых десяти членов данной арифметической прогрессии и вычислите её:

a) 0,2; 0,5; 0,8; ...;

б) -50; -35; -20; ... .

а) Для арифметической прогрессии 0,2; 0,5; 0,8; ...

Чтобы найти сумму первых десяти членов, нам нужно определить первый член ($a_1$) и разность прогрессии ($d$).

1. Первый член прогрессии: $a_1 = 0,2$.

2. Разность прогрессии — это постоянная величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. Найдем ее:

$d = a_2 - a_1 = 0,5 - 0,2 = 0,3$.

3. Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

В нашем случае $n=10$. Подставим известные значения в формулу:

$S_{10} = \frac{2 \cdot 0,2 + 0,3 \cdot (10-1)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{0,4 + 0,3 \cdot 9}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{0,4 + 2,7}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{3,1}{2} \cdot 10$

$S_{10} = 1,55 \cdot 10 = 15,5$

Сумма первых десяти членов прогрессии в развернутом виде: $0,2 + 0,5 + 0,8 + 1,1 + 1,4 + 1,7 + 2,0 + 2,3 + 2,6 + 2,9$.

Ответ: 15,5.

б) Для арифметической прогрессии -50; -35; -20; ...

Действуем аналогично предыдущему пункту.

1. Первый член прогрессии: $a_1 = -50$.

2. Найдем разность прогрессии:

$d = a_2 - a_1 = -35 - (-50) = -35 + 50 = 15$.

3. Воспользуемся той же формулой для суммы первых $n$ членов при $n=10$:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим значения $a_1 = -50$, $d = 15$ и $n = 10$:

$S_{10} = \frac{2 \cdot (-50) + 15 \cdot (10-1)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{-100 + 15 \cdot 9}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{-100 + 135}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{35}{2} \cdot 10$

$S_{10} = 17,5 \cdot 10 = 175$

Сумма первых десяти членов прогрессии в развернутом виде: $(-50) + (-35) + (-20) + (-5) + 10 + 25 + 40 + 55 + 70 + 85$.

Ответ: 175.

613 Дана сумма, слагаемые которой являются членами арифметической прогрессии. Впишите недостающие слагаемые и найдите значение этой суммы:

a) $23 + 27 + 31 + \dots + 51;$

б) $28 + 25 + 22 + \dots + 1.$

a) 23 + 27 + 31 + ... + 51;

Данная сумма представляет собой сумму членов арифметической прогрессии. Первый член прогрессии $a_1 = 23$. Второй член $a_2 = 27$. Найдем разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = 27 - 23 = 4$.

Теперь, зная разность, мы можем найти все недостающие слагаемые, последовательно прибавляя 4 к предыдущему члену: $a_3 = 27 + 4 = 31$ (соответствует условию) $a_4 = 31 + 4 = 35$ $a_5 = 35 + 4 = 39$ $a_6 = 39 + 4 = 43$ $a_7 = 43 + 4 = 47$ $a_8 = 47 + 4 = 51$ (соответствует последнему члену) Таким образом, недостающие слагаемые — это 35, 39, 43, 47.

Чтобы найти значение суммы, сначала определим общее количество слагаемых $n$. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим известные значения: $a_1 = 23$, $a_n = 51$, $d = 4$. $51 = 23 + (n-1) \cdot 4$ $28 = (n-1) \cdot 4$ $n-1 = \frac{28}{4} = 7$ $n = 7 + 1 = 8$. Всего в сумме 8 членов.

Теперь вычислим сумму по формуле суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. $S_8 = \frac{23 + 51}{2} \cdot 8 = \frac{74}{2} \cdot 8 = 37 \cdot 8 = 296$.

Ответ: недостающие слагаемые: 35, 39, 43, 47; значение суммы: 296.

б) 28 + 25 + 22 + ... + 1.

Это также сумма членов арифметической прогрессии. Первый член прогрессии $a_1 = 28$. Второй член $a_2 = 25$. Найдем разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = 25 - 28 = -3$.

Найдем недостающие слагаемые, последовательно прибавляя -3 (или вычитая 3) к предыдущему члену: $a_3 = 25 - 3 = 22$ (соответствует условию) $a_4 = 22 - 3 = 19$ $a_5 = 19 - 3 = 16$ $a_6 = 16 - 3 = 13$ $a_7 = 13 - 3 = 10$ $a_8 = 10 - 3 = 7$ $a_9 = 7 - 3 = 4$ $a_{10} = 4 - 3 = 1$ (соответствует последнему члену) Недостающие слагаемые — это 19, 16, 13, 10, 7, 4.

Определим общее количество слагаемых $n$, используя формулу n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим известные значения: $a_1 = 28$, $a_n = 1$, $d = -3$. $1 = 28 + (n-1) \cdot (-3)$ $1 - 28 = -3(n-1)$ $-27 = -3(n-1)$ $n-1 = \frac{-27}{-3} = 9$ $n = 9 + 1 = 10$. Всего в сумме 10 членов.

Вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. $S_{10} = \frac{28 + 1}{2} \cdot 10 = \frac{29}{2} \cdot 10 = 29 \cdot 5 = 145$.

Ответ: недостающие слагаемые: 19, 16, 13, 10, 7, 4; значение суммы: 145.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (614–616)

614 а) Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 500.

б) Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до $n$.

а) Требуется найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 500. Данная последовательность чисел $1, 2, 3, \ldots, 500$ представляет собой арифметическую прогрессию.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Для данной прогрессии имеем: первый член $a_1 = 1$, последний член $a_n = 500$, и количество членов $n = 500$.

Подставим эти значения в формулу:

$S_{500} = \frac{1 + 500}{2} \cdot 500$

Выполним вычисления:

$S_{500} = \frac{501}{2} \cdot 500 = 501 \cdot 250 = 125250$

Ответ: 125250

б) Требуется найти сумму всех натуральных чисел от 1 до $n$. Это задача на вывод общей формулы. Последовательность чисел $1, 2, 3, \ldots, n$ является арифметической прогрессией.

Используем ту же формулу для суммы арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В этом общем случае: первый член $a_1 = 1$, последний член $a_n = n$, и количество членов также равно $n$.

Подставим эти значения в формулу:

$S_n = \frac{1 + n}{2} \cdot n$

Эту формулу принято записывать в виде $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$. Она является универсальной для нахождения суммы первых $n$ натуральных чисел.

Ответ: $\frac{n(n+1)}{2}$

615 Пользуясь формулой суммы первых $n$ натуральных чисел, выведенной в упражнении 614, б, выполните следующее задание:

а) найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 1500;

б) определите, сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы в сумме получить 210.

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых n натуральных чисел. Эта последовательность является арифметической прогрессией, сумма которой вычисляется по формуле:

$S_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

а) найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 1500;

В этом задании требуется найти сумму первых 1500 натуральных чисел. Это значит, что количество членов последовательности n равно 1500.

Подставляем значение n = 1500 в формулу суммы:

$S_{1500} = \frac{1500 \cdot (1500 + 1)}{2} = \frac{1500 \cdot 1501}{2}$

Выполняем вычисления:

$S_{1500} = 750 \cdot 1501 = 1\,125\,750$

Ответ: 1 125 750.

б) определите, сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы в сумме получить 210.

В этом задании известна сумма S_n = 210, и необходимо найти количество слагаемых n.

Подставим значение суммы в формулу и решим полученное уравнение относительно n:

$\frac{n(n+1)}{2} = 210$

Умножим обе части уравнения на 2:

$n(n+1) = 420$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$n^2 + n - 420 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант D:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 1 + 1680 = 1681$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{1681} = 41$.

Теперь найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 41}{2 \cdot 1} = \frac{40}{2} = 20$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 41}{2 \cdot 1} = \frac{-42}{2} = -21$

Поскольку n обозначает количество натуральных чисел, оно должно быть положительным целым числом. Поэтому корень n_2 = -21 не является решением задачи.

Таким образом, необходимо сложить 20 последовательных натуральных чисел.

Ответ: 20.

616 Треугольные числа изображаются треугольниками, составленными из шаров (см. рис. 4.2). Определите:

a) сколько шаров в двадцать пятом треугольнике;

б) в каком по счёту треугольнике 55 шаров.

Треугольные числа — это числа, которые представляют собой сумму последовательных натуральных чисел, начиная с 1. N-ое треугольное число, обозначаемое $T_n$, можно найти по формуле суммы арифметической прогрессии:

$T_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

Воспользуемся этой формулой для решения задачи.

а) сколько шаров в двадцать пятом треугольнике;

Чтобы найти количество шаров в 25-м треугольнике, нужно вычислить 25-е треугольное число ($T_{25}$). Подставим $n=25$ в формулу:
$T_{25} = \frac{25 \cdot (25+1)}{2} = \frac{25 \cdot 26}{2} = 25 \cdot 13 = 325$.

Ответ: 325 шаров.

б) в каком по счету треугольнике 55 шаров.

Здесь известно количество шаров ($T_n = 55$) и нужно найти номер треугольника $n$. Составим и решим уравнение:
$\frac{n(n+1)}{2} = 55$
Умножим обе части на 2:
$n(n+1) = 110$
Это уравнение можно решить подбором двух последовательных натуральных чисел, произведение которых равно 110. Такими числами являются 10 и 11, значит $n=10$.
Также можно решить его как квадратное уравнение $n^2 + n - 110 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441 = 21^2$.
Корни уравнения:
$n_{1} = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$n_{2} = \frac{-1 - 21}{2} = \frac{-22}{2} = -11$
Поскольку номер треугольника $n$ должен быть положительным числом, решением является $n=10$.

Ответ: в 10-м треугольнике.

617 ВЫЧИСЛЯЕМ ПО ФОРМУЛЕ Последовательность $(x_n)$ — арифметическая прогрессия. Найдите:

а) $S_{10}$, если $x_1 = 38, d = -4;$

б) $S_{64}$, если $x_1 = -25, d = 3;$

в) $S_{15}$, если $x_1 = 1,2, d = 1,5.$

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2x_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

где $S_n$ — это сумма первых $n$ членов, $x_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — количество членов.

а) Найдём $S_{10}$, если дано $x_1 = 38$ и $d = -4$.

В этом случае $n=10$. Подставим известные значения в формулу:

$S_{10} = \frac{2 \cdot 38 + (-4) \cdot (10-1)}{2} \cdot 10$

Выполним вычисления по шагам:

$S_{10} = \frac{76 - 4 \cdot 9}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{76 - 36}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{40}{2} \cdot 10$

$S_{10} = 20 \cdot 10 = 200$

Ответ: 200.

б) Найдём $S_{64}$, если дано $x_1 = -25$ и $d = 3$.

В этом случае $n=64$. Подставим известные значения в формулу:

$S_{64} = \frac{2 \cdot (-25) + 3 \cdot (64-1)}{2} \cdot 64$

Выполним вычисления по шагам:

$S_{64} = \frac{-50 + 3 \cdot 63}{2} \cdot 64$

$S_{64} = \frac{-50 + 189}{2} \cdot 64$

$S_{64} = \frac{139}{2} \cdot 64$

$S_{64} = 139 \cdot 32 = 4448$

Ответ: 4448.

в) Найдём $S_{15}$, если дано $x_1 = 1,2$ и $d = 1,5$.

В этом случае $n=15$. Подставим известные значения в формулу, используя точки в качестве десятичных разделителей для формата KaTeX:

$S_{15} = \frac{2 \cdot 1.2 + 1.5 \cdot (15-1)}{2} \cdot 15$

Выполним вычисления по шагам:

$S_{15} = \frac{2.4 + 1.5 \cdot 14}{2} \cdot 15$

$S_{15} = \frac{2.4 + 21}{2} \cdot 15$

$S_{15} = \frac{23.4}{2} \cdot 15$

$S_{15} = 11.7 \cdot 15 = 175.5$

Ответ: 175,5.