Страница 236 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

597 РАССУЖДАЕМ

a) Запишите формулу $n$-го члена арифметической прогрессии 1; 8; 15; 22; ... . Определите, является ли членом этой прогрессии число 88; число 99. Если является, то укажите его номер и найдите предшествующий и последующий члены.

б) Запишите формулу $n$-го члена арифметической прогрессии ($a_n$), если $a_1 = 15$ и $d = -4$. Определите, является ли членом этой прогрессии число -105; число -200. Если является, то укажите его номер и найдите предшествующий и последующий члены.

а)

Дана арифметическая прогрессия: 1; 8; 15; 22; ...

1. Найдем формулу n-го члена прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Из последовательности видно, что первый член $a_1 = 1$.

Найдем разность прогрессии, вычтя из последующего члена предыдущий:

$d = a_2 - a_1 = 8 - 1 = 7$.

Проверим: $15 - 8 = 7$, $22 - 15 = 7$. Разность постоянна и равна 7.

Подставим значения $a_1 = 1$ и $d = 7$ в формулу:

$a_n = 1 + (n-1) \cdot 7 = 1 + 7n - 7 = 7n - 6$.

Итак, формула n-го члена данной прогрессии: $a_n = 7n - 6$.

2. Определим, является ли число 88 членом этой прогрессии.

Для этого приравняем $a_n$ к 88 и найдем $n$. Если $n$ — натуральное число, то 88 является членом прогрессии.

$7n - 6 = 88$

$7n = 88 + 6$

$7n = 94$

$n = \frac{94}{7} = 13\frac{3}{7}$

Так как $n$ не является натуральным числом, число 88 не является членом данной арифметической прогрессии.

3. Определим, является ли число 99 членом этой прогрессии.

Приравняем $a_n$ к 99 и найдем $n$:

$7n - 6 = 99$

$7n = 99 + 6$

$7n = 105$

$n = \frac{105}{7} = 15$

Так как $n = 15$ — натуральное число, то число 99 является 15-м членом прогрессии ($a_{15} = 99$).

4. Найдем предшествующий и последующий члены для 99.

Предшествующий член — это $a_{14}$:

$a_{14} = a_{15} - d = 99 - 7 = 92$.

Последующий член — это $a_{16}$:

$a_{16} = a_{15} + d = 99 + 7 = 106$.

Ответ: Формула n-го члена: $a_n = 7n - 6$. Число 88 не является членом прогрессии. Число 99 является членом прогрессии, его номер $n=15$. Предшествующий член равен 92, последующий — 106.

б)

Дана арифметическая прогрессия ($a_n$), где $a_1 = 15$ и $d = -4$.

1. Запишем формулу n-го члена прогрессии.

Используем общую формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения $a_1 = 15$ и $d = -4$:

$a_n = 15 + (n-1) \cdot (-4) = 15 - 4n + 4 = 19 - 4n$.

Итак, формула n-го члена данной прогрессии: $a_n = 19 - 4n$.

2. Определим, является ли число -105 членом этой прогрессии.

Приравняем $a_n$ к -105 и найдем $n$:

$19 - 4n = -105$

$-4n = -105 - 19$

$-4n = -124$

$n = \frac{-124}{-4} = 31$

Так как $n = 31$ — натуральное число, то число -105 является 31-м членом прогрессии ($a_{31} = -105$).

3. Найдем предшествующий и последующий члены для -105.

Предшествующий член — это $a_{30}$:

$a_{30} = a_{31} - d = -105 - (-4) = -105 + 4 = -101$.

Последующий член — это $a_{32}$:

$a_{32} = a_{31} + d = -105 + (-4) = -105 - 4 = -109$.

4. Определим, является ли число -200 членом этой прогрессии.

Приравняем $a_n$ к -200 и найдем $n$:

$19 - 4n = -200$

$-4n = -200 - 19$

$-4n = -219$

$n = \frac{-219}{-4} = \frac{219}{4} = 54.75$

Так как $n$ не является натуральным числом, число -200 не является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: Формула n-го члена: $a_n = 19 - 4n$. Число -105 является членом прогрессии, его номер $n=31$. Предшествующий член равен -101, последующий — -109. Число -200 не является членом прогрессии.

598 Первые шесть членов арифметической прогрессии $(a_n)$ изображены точками на координатной плоскости (рис. 4.5, а, б). Найдите $a_1$ и $d$.

б) Рис. 4.5

а) Арифметическая прогрессия $(a_n)$ задана графически. Каждая точка на графике имеет координаты $(n, a_n)$, где $n$ — номер члена прогрессии, а $a_n$ — его значение. Найдём координаты первых двух точек на графике а).

Первая точка имеет координаты $(1, -2)$, следовательно, первый член прогрессии $a_1 = -2$.

Вторая точка имеет координаты $(2, -1)$, следовательно, второй член прогрессии $a_2 = -1$.

Разность арифметической прогрессии $d$ — это постоянная величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. Её можно найти по формуле $d = a_{n+1} - a_n$.

Вычислим разность, используя первые два члена:

$d = a_2 - a_1 = -1 - (-2) = -1 + 2 = 1$.

Для проверки можно взять другие пары соседних членов, например, $a_3=0$ и $a_4=1$. Тогда $d = a_4 - a_3 = 1 - 0 = 1$. Разность найдена верно.

Ответ: $a_1 = -2$, $d = 1$.

б) Аналогично рассмотрим график б). Найдём координаты первых двух точек.

Первая точка имеет координаты $(1, 3)$, следовательно, первый член прогрессии $a_1 = 3$.

Вторая точка имеет координаты $(2, 2)$, следовательно, второй член прогрессии $a_2 = 2$.

Вычислим разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 2 - 3 = -1$.

Проверим по следующим точкам: $a_3=1$ и $a_4=0$. Тогда $d = a_4 - a_3 = 0 - 1 = -1$. Разность найдена верно.

Ответ: $a_1 = 3$, $d = -1$.

599 Самолёт начал снижение на высоте 8000 м и в первые десять минут снижался на 500 м в минуту.

а) Запишите формулу для вычисления высоты $h_n$, на которой будет находиться самолёт через $n$ минут после начала снижения.

б) С помощью этой формулы определите, на какой высоте будет самолёт через 3 мин после начала снижения; через 8 мин.

в) На какой минуте самолёт окажется ниже 4000 м над уровнем земли?

г) Изобразите точками координатной плоскости десять членов последовательности $(h_n)$.

а) Запишите формулу для вычисления высоты $h_n$, на которой будет находиться самолёт через $n$ минут после начала снижения.

Начальная высота самолёта составляет 8000 метров. Каждую минуту самолёт снижается на 500 метров. Таким образом, за $n$ минут самолёт снизится на $500 \cdot n$ метров. Чтобы найти высоту $h_n$ через $n$ минут, нужно из начальной высоты вычесть величину снижения.

Формула для высоты $h_n$ имеет вид:

$h_n = 8000 - 500n$

Эта формула справедлива для первых десяти минут снижения, то есть при $1 \le n \le 10$.

Ответ: $h_n = 8000 - 500n$.

б) С помощью этой формулы определите, на какой высоте будет самолёт через 3 мин после начала снижения; через 8 мин.

Чтобы найти высоту через 3 минуты, подставим $n=3$ в формулу:

$h_3 = 8000 - 500 \cdot 3 = 8000 - 1500 = 6500$ метров.

Чтобы найти высоту через 8 минут, подставим $n=8$ в формулу:

$h_8 = 8000 - 500 \cdot 8 = 8000 - 4000 = 4000$ метров.

Ответ: через 3 минуты самолёт будет на высоте 6500 м, а через 8 минут — на высоте 4000 м.

в) На какой минуте самолёт окажется ниже 4000 м над уровнем земли?

Нам нужно найти наименьшее целое значение $n$, при котором высота $h_n$ будет меньше 4000 м. Составим неравенство:

$h_n < 4000$

Подставим формулу для $h_n$:

$8000 - 500n < 4000$

Решим это неравенство:

$-500n < 4000 - 8000$

$-500n < -4000$

Разделим обе части на -500 и изменим знак неравенства на противоположный:

$n > \frac{-4000}{-500}$

$n > 8$

Так как $n$ — это количество минут и должно быть целым числом, наименьшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 9. Это означает, что на 9-й минуте самолёт окажется ниже 4000 м.

Проверка: на 8-й минуте высота равна 4000 м. На 9-й минуте: $h_9 = 8000 - 500 \cdot 9 = 3500$ м, что ниже 4000 м.

Ответ: на 9-й минуте.

г) Изобразите точками координатной плоскости десять членов последовательности ($h_n$).

Найдём значения высоты $h_n$ для $n$ от 1 до 10:

• $n=1: h_1 = 7500$ м. Точка (1; 7500)
• $n=2: h_2 = 7000$ м. Точка (2; 7000)
• $n=3: h_3 = 6500$ м. Точка (3; 6500)
• $n=4: h_4 = 6000$ м. Точка (4; 6000)
• $n=5: h_5 = 5500$ м. Точка (5; 5500)
• $n=6: h_6 = 5000$ м. Точка (6; 5000)
• $n=7: h_7 = 4500$ м. Точка (7; 4500)
• $n=8: h_8 = 4000$ м. Точка (8; 4000)
• $n=9: h_9 = 3500$ м. Точка (9; 3500)
• $n=10: h_{10} = 3000$ м. Точка (10; 3000)

Изобразим эти точки на координатной плоскости, где по оси абсцисс отложено время $n$ в минутах, а по оси ординат — высота $h_n$ в метрах.

Ответ: Координаты точек: (1; 7500), (2; 7000), (3; 6500), (4; 6000), (5; 5500), (6; 5000), (7; 4500), (8; 4000), (9; 3500), (10; 3000). График с этими точками представлен выше.