Страница 234 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Используем определение (586–588)

586 Определите, является ли последовательность, описанная в задаче, арифметической прогрессией, и если да, то укажите её первый член и разность.

а) В начале учебного года ученику 9 класса купили 300 тетрадей. Он тратит 6 тетрадей в неделю. Сколько тетрадей будет у него в начале каждой из первых шести недель учебного года?

б) В понедельник Андрей заполнил бак автомобиля, вмещающий 40 л бензина. Во вторник он истратил 4 л, а в каждый следующий день недели тратил на 2 л бензина больше, чем в предыдущий. Сколько литров бензина находилось в баке к концу каждого из дней недели с понедельника по пятницу, если он дополнительно не заправлялся?

а)

Обозначим количество тетрадей у ученика в начале $n$-й недели как $a_n$. В начале первой недели у ученика было 300 тетрадей, следовательно, первый член последовательности $a_1 = 300$. Каждую неделю количество тетрадей уменьшается на 6. Таким образом, мы можем найти количество тетрадей в начале каждой следующей недели.
В начале 2-й недели: $a_2 = 300 - 6 = 294$ тетради.
В начале 3-й недели: $a_3 = 294 - 6 = 288$ тетрадей.
В начале 4-й недели: $a_4 = 288 - 6 = 282$ тетради.
В начале 5-й недели: $a_5 = 282 - 6 = 276$ тетрадей.
В начале 6-й недели: $a_6 = 276 - 6 = 270$ тетрадей.
Получаем последовательность количества тетрадей: 300, 294, 288, 282, 276, 270.
Чтобы определить, является ли эта последовательность арифметической прогрессией, найдем разность между соседними членами:
$a_2 - a_1 = 294 - 300 = -6$
$a_3 - a_2 = 288 - 294 = -6$
$a_4 - a_3 = 282 - 288 = -6$
Так как разность между каждым последующим и предыдущим членом последовательности постоянна и равна -6, данная последовательность является арифметической прогрессией.
Её первый член $a_1 = 300$.
Её разность $d = -6$.
Ответ: Да, последовательность является арифметической прогрессией. Количество тетрадей в начале каждой из первых шести недель: 300, 294, 288, 282, 276, 270. Первый член прогрессии $a_1 = 300$, разность $d = -6$.

б)

Найдем, сколько литров бензина находилось в баке к концу каждого дня с понедельника по пятницу.
В понедельник Андрей заполнил бак, в котором 40 л бензина. Предположим, что в понедельник он не ездил.
Конец понедельника: 40 л.
Во вторник он истратил 4 л.
Конец вторника: $40 - 4 = 36$ л.
В среду он истратил на 2 л больше, чем во вторник, то есть $4 + 2 = 6$ л.
Конец среды: $36 - 6 = 30$ л.
В четверг он истратил на 2 л больше, чем в среду, то есть $6 + 2 = 8$ л.
Конец четверга: $30 - 8 = 22$ л.
В пятницу он истратил на 2 л больше, чем в четверг, то есть $8 + 2 = 10$ л.
Конец пятницы: $22 - 10 = 12$ л.
Получаем последовательность остатка бензина в баке: 40, 36, 30, 22, 12.
Чтобы определить, является ли эта последовательность арифметической прогрессией, найдем разность между соседними членами:
$36 - 40 = -4$
$30 - 36 = -6$
$22 - 30 = -8$
$12 - 22 = -10$
Разность между соседними членами не является постоянной величиной. Следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: Нет, последовательность не является арифметической прогрессией. Количество бензина в баке к концу каждого из дней с понедельника по пятницу: 40 л, 36 л, 30 л, 22 л, 12 л.

587 Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

1) 1; 2; 3; 5; 8; ...

2) 4; 9; 16; 25; ...

3) 16; 13; 10; 7; ...

4) 32; 16; 8; 4; ...

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, в которой каждый последующий член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается как $d$. Таким образом, для любого члена последовательности $a_n$ должно выполняться условие: $a_{n+1} - a_n = d$, где $d$ — постоянная величина.

Проанализируем каждую из предложенных последовательностей.

1) $1; 2; 3; 5; 8; ...$

Найдем разность между соседними членами этой последовательности:

• $a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1$
• $a_3 - a_2 = 3 - 2 = 1$
• $a_4 - a_3 = 5 - 3 = 2$

Разность между членами не является постоянной ($1 \ne 2$). Следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.

2) $4; 9; 16; 25; ...$

Найдем разность между соседними членами:

• $a_2 - a_1 = 9 - 4 = 5$
• $a_3 - a_2 = 16 - 9 = 7$
• $a_4 - a_3 = 25 - 16 = 9$

Разность между членами не является постоянной ($5 \ne 7 \ne 9$). Следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.

3) $16; 13; 10; 7; ...$

Найдем разность между соседними членами:

• $a_2 - a_1 = 13 - 16 = -3$
• $a_3 - a_2 = 10 - 13 = -3$
• $a_4 - a_3 = 7 - 10 = -3$

Разность между соседними членами постоянна и равна $-3$. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d = -3$.

4) $32; 16; 8; 4; ...$

Найдем разность между соседними членами:

• $a_2 - a_1 = 16 - 32 = -16$
• $a_3 - a_2 = 8 - 16 = -8$

Разность между членами не является постоянной ($-16 \ne -8$). Следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Таким образом, единственная последовательность, являющаяся арифметической прогрессией, это последовательность под номером 3.

Ответ: 3)

588 Запишите следующие пять членов арифметической прогрессии:

а) $0; 4; 8; 12; \ldots ;$

б) $0; -3; -6; -9; \ldots .$

а)

Дана арифметическая прогрессия: 0; 4; 8; 12; ...
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, которое называется разностью прогрессии ($d$).
Первый член прогрессии $a_1 = 0$.
Найдем разность прогрессии $d$, вычитая из любого члена предыдущий:
$d = a_2 - a_1 = 4 - 0 = 4$
Для проверки: $a_3 - a_2 = 8 - 4 = 4$.
Разность прогрессии $d = 4$.
Чтобы найти следующие члены, нужно к последнему известному члену ($a_4 = 12$) последовательно прибавлять разность $d$. Найдем следующие пять членов:
Пятый член: $a_5 = a_4 + d = 12 + 4 = 16$
Шестой член: $a_6 = a_5 + d = 16 + 4 = 20$
Седьмой член: $a_7 = a_6 + d = 20 + 4 = 24$
Восьмой член: $a_8 = a_7 + d = 24 + 4 = 28$
Девятый член: $a_9 = a_8 + d = 28 + 4 = 32$

Ответ: 16; 20; 24; 28; 32.

б)

Дана арифметическая прогрессия: 0; -3; -6; -9; ...
Первый член прогрессии $a_1 = 0$.
Найдем разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = -3 - 0 = -3$
Для проверки: $a_3 - a_2 = -6 - (-3) = -6 + 3 = -3$.
Разность прогрессии $d = -3$.
Чтобы найти следующие члены, нужно к последнему известному члену ($a_4 = -9$) последовательно прибавлять разность $d$. Найдем следующие пять членов:
Пятый член: $a_5 = a_4 + d = -9 + (-3) = -12$
Шестой член: $a_6 = a_5 + d = -12 + (-3) = -15$
Седьмой член: $a_7 = a_6 + d = -15 + (-3) = -18$
Восьмой член: $a_8 = a_7 + d = -18 + (-3) = -21$
Девятый член: $a_9 = a_8 + d = -21 + (-3) = -24$

Ответ: -12; -15; -18; -21; -24.

АНАЛИЗИРУЕМ (589-591)

589 Впишите все пропущенные члены арифметической прогрессии, если известно, что её разность равна $-3$:

60; ...; 39.

Сколько членов прогрессии вы вписали?

Впишите все пропущенные члены арифметической прогрессии, если известно, что её разность равна –3: 60; ...; 39.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом $d$ (разностью прогрессии). В нашем случае даны первый член прогрессии $a_1 = 60$ и разность $d = -3$.

Чтобы найти пропущенные члены, будем последовательно вычитать 3 из каждого предыдущего члена, пока не достигнем 39.

Второй член: $a_2 = a_1 + d = 60 + (-3) = 57$
Третий член: $a_3 = a_2 + d = 57 + (-3) = 54$
Четвертый член: $a_4 = a_3 + d = 54 + (-3) = 51$
Пятый член: $a_5 = a_4 + d = 51 + (-3) = 48$
Шестой член: $a_6 = a_5 + d = 48 + (-3) = 45$
Седьмой член: $a_7 = a_6 + d = 45 + (-3) = 42$
Восьмой член: $a_8 = a_7 + d = 42 + (-3) = 39$

Мы получили последний известный член (39), следовательно, все промежуточные члены найдены. Пропущенные члены — это 57, 54, 51, 48, 45, 42.

Ответ: 60; 57; 54; 51; 48; 45; 42; 39.

Сколько членов прогрессии вы вписали?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно посчитать количество чисел, которые мы вписали между 60 и 39. Это числа: 57, 54, 51, 48, 45, 42. Всего их 6.

Также можно решить задачу аналитически. Найдем, каким по счету членом прогрессии является число 39, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения: $a_1 = 60$, $a_n = 39$, $d = -3$.
$39 = 60 + (n-1)(-3)$
$39 - 60 = -3(n-1)$
$-21 = -3(n-1)$
Разделим обе части уравнения на -3:
$7 = n-1$
$n = 8$
Таким образом, вся последовательность от 60 до 39 содержит 8 членов. Поскольку два члена (первый и последний) были уже известны, количество вписанных (пропущенных) членов равно $8 - 2 = 6$.

Ответ: 6.