Страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

605 Начиная с какого номера члены арифметической прогрессии $ -101; -96; -91; ... $ положительны? Подумайте, как можно убедиться в том, что ваш ответ верен.

Данная последовательность является арифметической прогрессией $(a_n)$. Ее первый член $a_1 = -101$, а второй член $a_2 = -96$.

Сначала определим разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = -96 - (-101) = -96 + 101 = 5$.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим известные значения, чтобы получить формулу для данной прогрессии: $a_n = -101 + (n-1) \cdot 5$ $a_n = -101 + 5n - 5$ $a_n = 5n - 106$.

Чтобы найти номер $n$, с которого члены прогрессии становятся положительными, необходимо решить неравенство $a_n > 0$: $5n - 106 > 0$ $5n > 106$ $n > \frac{106}{5}$ $n > 21.2$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее данному неравенству, — это $n = 22$.

Ответ: 22.

Чтобы убедиться в правильности ответа, нужно проверить, что 22-й член прогрессии действительно является первым положительным членом. Для этого достаточно вычислить 21-й и 22-й члены и сравнить их знаки. 21-й член должен быть отрицательным (или равным нулю), а 22-й — положительным.

Воспользуемся выведенной ранее формулой $a_n = 5n - 106$.

Вычислим 21-й член ($n=21$): $a_{21} = 5 \cdot 21 - 106 = 105 - 106 = -1$. Этот член является отрицательным.

Вычислим 22-й член ($n=22$): $a_{22} = 5 \cdot 22 - 106 = 110 - 106 = 4$. Этот член является положительным.

Поскольку член прогрессии $a_{21}$ отрицателен, а $a_{22}$ положителен, это подтверждает, что члены прогрессии становятся положительными именно начиная с 22-го номера.

Ответ: Для проверки необходимо рассчитать значения членов прогрессии с номерами 21 и 22. Расчет показывает, что $a_{21} = -1$ (отрицательный), а $a_{22} = 4$ (положительный), что доказывает правильность найденного ответа.

606 Найдите первый отрицательный член арифметической прогрессии $(a_n)$, в которой $a_1 = 10$, $d = -0.2$. Проверьте свой ответ.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию задачи имеем: $a_1 = 10$ и $d = -0,2$.

Мы ищем первый отрицательный член, то есть нам нужно найти наименьшее натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $a_n < 0$.

Составим и решим это неравенство:

$a_1 + (n-1)d < 0$

$10 + (n-1)(-0,2) < 0$

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

$10 - 0,2n + 0,2 < 0$

$10,2 - 0,2n < 0$

Перенесем $0,2n$ в правую часть:

$10,2 < 0,2n$

Разделим обе части неравенства на 0,2:

$n > \frac{10,2}{0,2}$

$n > 51$

Так как $n$ — это порядковый номер члена прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее условию $n > 51$, — это $n = 52$.

Следовательно, 52-й член прогрессии будет первым отрицательным. Найдем его значение:

$a_{52} = a_1 + (52-1)d = 10 + 51 \cdot (-0,2) = 10 - 10,2 = -0,2$.

Теперь выполним проверку, как требуется в условии задачи. Для этого найдем 51-й член прогрессии, который должен быть еще не отрицательным (то есть больше или равен нулю).

$a_{51} = a_1 + (51-1)d = 10 + 50 \cdot (-0,2) = 10 - 10 = 0$.

Поскольку $a_{51} = 0$, а следующий член $a_{52} = a_{51} + d = 0 + (-0,2) = -0,2$ является отрицательным, то $a_{52} = -0,2$ действительно является первым отрицательным членом прогрессии. Проверка пройдена успешно.

Ответ: $-0,2$.

607 В арифметической прогрессии $(y_n)$ известны пятый и шестой члены: $y_5 = -150$ и $y_6 = -147$. Сколько членов этой прогрессии отрицательны? Проверьте свой ответ.

Сколько членов этой прогрессии отрицательны?

Дано: арифметическая прогрессия $(y_n)$, где $y_5 = -150$ и $y_6 = -147$.

1. Сначала найдем разность арифметической прогрессии $d$. Разность прогрессии равна разности между любым ее членом и предыдущим.

$d = y_6 - y_5 = -147 - (-150) = -147 + 150 = 3$.

Разность прогрессии положительна ($d > 0$), значит, прогрессия является возрастающей.

2. Теперь найдем первый член прогрессии $y_1$. Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $y_n = y_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения для $y_5$:

$y_5 = y_1 + (5-1)d$

$-150 = y_1 + 4 \cdot 3$

$-150 = y_1 + 12$

$y_1 = -150 - 12 = -162$.

3. Чтобы определить количество отрицательных членов, необходимо найти все номера $n$, для которых выполняется неравенство $y_n < 0$.

Подставим формулу n-го члена в неравенство:

$y_1 + (n-1)d < 0$

Подставим найденные значения $y_1 = -162$ и $d = 3$:

$-162 + (n-1) \cdot 3 < 0$

Решим это неравенство относительно $n$:

$3(n-1) < 162$

$n-1 < \frac{162}{3}$

$n-1 < 54$

$n < 55$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), то все члены с номерами от 1 до 54 включительно будут отрицательными. Наибольший номер отрицательного члена — 54. Таким образом, всего в прогрессии 54 отрицательных члена.

Ответ: 54.

Проверьте свой ответ.

Для проверки необходимо убедиться, что 54-й член прогрессии ($y_{54}$) отрицателен, а 55-й член ($y_{55}$) — уже не является отрицательным (то есть равен нулю или положителен).

Вычислим $y_{54}$ по формуле n-го члена:

$y_{54} = y_1 + (54-1)d = -162 + 53 \cdot 3 = -162 + 159 = -3$.

Результат $y_{54} = -3$, и это число отрицательное, что соответствует нашему решению.

Теперь вычислим $y_{55}$:

$y_{55} = y_1 + (55-1)d = -162 + 54 \cdot 3 = -162 + 162 = 0$.

Результат $y_{55} = 0$, это число не является отрицательным. Все последующие члены будут положительными, так как разность прогрессии $d=3$ положительна (например, $y_{56} = y_{55} + d = 0 + 3 = 3$).

Таким образом, последний отрицательный член прогрессии — это $y_{54}$. Всего отрицательных членов 54. Проверка подтверждает правильность решения.

Ответ: Проверка подтверждает, что в прогрессии 54 отрицательных члена.

Доказываем (608–610)

608 Докажите в общем случае свойство, сформулированное на с. 233: последовательность, заданная формулой $a_n = kn + b$, где $k$ и $b$ — некоторые числа, является арифметической прогрессией. Чему равна разность арифметической прогрессии, заданной этой формулой?

Подсказка. Используйте пример 5 в качестве образца рассуждения.

По определению, числовая последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией, если для всех натуральных $n$ разность между последующим и предыдущим членами последовательности постоянна. Обозначим эту разность через $d$. Таким образом, должно выполняться условие: $a_{n+1} - a_n = d$, где $d$ — константа.

Нам дана последовательность, заданная формулой $a_n = kn + b$, где $k$ и $b$ — некоторые числа.

Чтобы доказать, что эта последовательность является арифметической прогрессией, найдем разность ее $(n+1)$-го и $n$-го членов.

Сначала выразим $(n+1)$-й член последовательности, подставив в исходную формулу вместо $n$ выражение $(n+1)$:

$a_{n+1} = k(n+1) + b = kn + k + b$

Теперь вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:

$a_{n+1} - a_n = (kn + k + b) - (kn + b)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$kn + k + b - kn - b = k$

В результате мы получили, что разность $a_{n+1} - a_n$ равна $k$. Поскольку $k$ — это заданное число (константа), не зависящее от $n$, разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Это доказывает, что последовательность, заданная формулой $a_n = kn + b$, является арифметической прогрессией.

Из этого доказательства также следует, что разность данной арифметической прогрессии равна $k$.

Ответ: разность арифметической прогрессии равна $k$.

609 Докажите, что если последовательность $ (a_n) $ — арифметическая прогрессия, то её члены, взятые через один, также образуют арифметическую прогрессию. Конкретизируйте это примером.

Доказательство

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$. По определению, для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$. Формула $n$-го члена этой прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Рассмотрим новую последовательность $(b_k)$, составленную из членов последовательности $(a_n)$, взятых через один. Это означает, что мы берем либо члены с нечетными номерами ($a_1, a_3, a_5, \dots$), либо члены с четными номерами ($a_2, a_4, a_6, \dots$).

Случай 1: Последовательность из членов с нечетными номерами.

Пусть новая последовательность $(b_k)$ состоит из членов $a_1, a_3, a_5, \dots$. Тогда $k$-й член этой последовательности равен $b_k = a_{2k-1}$. Чтобы доказать, что $(b_k)$ является арифметической прогрессией, нужно показать, что разность $b_{k+1} - b_k$ является постоянной величиной для любого $k \geq 1$.

Выразим члены $b_k$ и $b_{k+1}$ через формулу $n$-го члена исходной прогрессии: $b_k = a_{2k-1} = a_1 + ((2k-1)-1)d = a_1 + (2k-2)d$. $b_{k+1} = a_{2(k+1)-1} = a_{2k+1} = a_1 + ((2k+1)-1)d = a_1 + 2kd$.

Теперь найдем их разность: $b_{k+1} - b_k = (a_1 + 2kd) - (a_1 + (2k-2)d) = a_1 + 2kd - a_1 - 2kd + 2d = 2d$.

Разность $b_{k+1} - b_k$ равна $2d$, что является постоянной величиной (так как $d$ — константа). Следовательно, последовательность членов с нечетными номерами является арифметической прогрессией с новой разностью $d' = 2d$.

Случай 2: Последовательность из членов с четными номерами.

Пусть новая последовательность $(c_k)$ состоит из членов $a_2, a_4, a_6, \dots$. Тогда $k$-й член этой последовательности равен $c_k = a_{2k}$. Аналогично найдем разность $c_{k+1} - c_k$: $c_{k+1} - c_k = a_{2(k+1)} - a_{2k} = a_{2k+2} - a_{2k}$.

Выразим через формулу $n$-го члена: $a_{2k} = a_1 + (2k-1)d$. $a_{2k+2} = a_1 + (2k+2-1)d = a_1 + (2k+1)d$.

Найдем разность: $c_{k+1} - c_k = (a_1 + (2k+1)d) - (a_1 + (2k-1)d) = a_1 + 2kd + d - a_1 - 2kd + d = 2d$.

Разность также постоянна и равна $2d$. Следовательно, последовательность членов с четными номерами также является арифметической прогрессией с разностью $d'' = 2d$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что члены арифметической прогрессии, взятые через один, образуют новую арифметическую прогрессию, разность которой в два раза больше разности исходной прогрессии.

Конкретизация примером

Рассмотрим арифметическую прогрессию $(a_n)$ с первым членом $a_1 = 2$ и разностью $d = 5$. Запишем несколько первых членов этой прогрессии: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, ...

Теперь составим новую последовательность $(b_k)$, взяв из $(a_n)$ члены через один, начиная с первого ($a_1, a_3, a_5, \dots$): 2, 12, 22, 32, ...

Проверим, является ли $(b_k)$ арифметической прогрессией. Для этого найдем разность между соседними членами: $12 - 2 = 10$ $22 - 12 = 10$ $32 - 22 = 10$

Разность постоянна и равна 10. Значит, последовательность 2, 12, 22, 32, ... является арифметической прогрессией с первым членом $b_1 = 2$ и разностью $d' = 10$. Как и следовало из доказательства, новая разность $d'=10$ вдвое больше исходной $d=5$, то есть $d' = 2d$.

Ответ: Пример наглядно показывает, что последовательность, составленная из членов исходной арифметической прогрессии с $a_1=2$ и $d=5$, взятых через один, является арифметической прогрессией с разностью $d'=10=2 \cdot 5$.

610 а) Пусть последовательность $ (a_n) $ — арифметическая прогрессия. Докажите, что если к каждому её члену прибавить одно и то же число, то полученная последовательность также будет арифметической прогрессией. Конкретизируйте это примером.

б) Докажите, что если каждый член некоторой арифметической прогрессии $ (a_n) $ умножить на одно и то же число, то полученная последовательность также будет арифметической прогрессией. Конкретизируйте это примером.

а)

По определению, последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией, если для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$, где $d$ — некоторое число, называемое разностью прогрессии. Это равносильно тому, что разность между любым последующим и предыдущим членом постоянна: $a_{n+1} - a_n = d$.

Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$. Создадим новую последовательность $(b_n)$, прибавив к каждому члену последовательности $(a_n)$ одно и то же число $c$. То есть, для любого $n$ член новой последовательности $b_n$ равен $a_n + c$.

Чтобы доказать, что $(b_n)$ также является арифметической прогрессией, нужно показать, что разность между её соседними членами постоянна. Найдем разность $b_{n+1} - b_n$:

$b_{n+1} - b_n = (a_{n+1} + c) - (a_n + c) = a_{n+1} + c - a_n - c = a_{n+1} - a_n$

Так как $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$, то $a_{n+1} - a_n = d$. Следовательно,

$b_{n+1} - b_n = d$

Разность соседних членов последовательности $(b_n)$ постоянна и равна $d$. Это означает, что последовательность $(b_n)$ является арифметической прогрессией с той же разностью $d$, что и исходная последовательность.

Пример:

Рассмотрим арифметическую прогрессию $(a_n)$: 3, 7, 11, 15, ...

Её первый член $a_1=3$, а разность $d = 7-3=4$.

Прибавим к каждому её члену число $c=5$:

$b_1 = 3 + 5 = 8$
$b_2 = 7 + 5 = 12$
$b_3 = 11 + 5 = 16$
$b_4 = 15 + 5 = 20$

Получили новую последовательность $(b_n)$: 8, 12, 16, 20, ...

Проверим, является ли она арифметической прогрессией. Найдем разность соседних членов:

$12 - 8 = 4$
$16 - 12 = 4$
$20 - 16 = 4$

Разность постоянна и равна 4. Таким образом, полученная последовательность является арифметической прогрессией с той же разностью, что и исходная.

Ответ: Доказано, что если к каждому члену арифметической прогрессии прибавить одно и то же число, то получится арифметическая прогрессия с той же разностью.

б)

Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$, то есть $a_{n+1} - a_n = d$ для любого натурального $n$.

Создадим новую последовательность $(b_n)$, умножив каждый член последовательности $(a_n)$ на одно и то же число $k \ne 0$. То есть, для любого $n$ член новой последовательности $b_n$ равен $k \cdot a_n$. (Если $k=0$, то все члены новой последовательности равны 0, что также является арифметической прогрессией с разностью 0).

Чтобы доказать, что $(b_n)$ является арифметической прогрессией, найдем разность между её соседними членами $b_{n+1} - b_n$:

$b_{n+1} - b_n = k \cdot a_{n+1} - k \cdot a_n = k(a_{n+1} - a_n)$

Так как $a_{n+1} - a_n = d$, то

$b_{n+1} - b_n = k \cdot d$

Разность соседних членов последовательности $(b_n)$ постоянна и равна $k \cdot d$. Это означает, что последовательность $(b_n)$ является арифметической прогрессией с новой разностью $d' = k \cdot d$.

Пример:

Рассмотрим ту же арифметическую прогрессию $(a_n)$: 3, 7, 11, 15, ...

Её разность $d=4$.

Умножим каждый её член на число $k=2$:

$b_1 = 3 \cdot 2 = 6$
$b_2 = 7 \cdot 2 = 14$
$b_3 = 11 \cdot 2 = 22$
$b_4 = 15 \cdot 2 = 30$

Получили новую последовательность $(b_n)$: 6, 14, 22, 30, ...

Проверим, является ли она арифметической прогрессией. Найдем разность соседних членов:

$14 - 6 = 8$
$22 - 14 = 8$
$30 - 22 = 8$

Разность постоянна и равна 8. Таким образом, полученная последовательность является арифметической прогрессией. Её новая разность $d' = 8$, что соответствует произведению исходной разности на число $k$: $d' = d \cdot k = 4 \cdot 2 = 8$.

Ответ: Доказано, что если каждый член арифметической прогрессии умножить на одно и то же число $k$, то получится арифметическая прогрессия с разностью, умноженной на $k$.

611 Исследуем

1) Рассмотрите арифметическую прогрессию $4; 8; 12; ...$ . Возьмите какой-нибудь член этой прогрессии, кроме первого, и убедитесь в том, что он равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.

2) Докажите, что любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего члена.

3) Найдите члены последовательности, обозначенные буквами, если известно, что эта последовательность — арифметическая прогрессия:

a) $a_1; 12; a_3; 18; a_5; a_6; ...$

б) $-7; a_2; -17; ...; a_{15}; -82; a_{17}; ...$

1)

Рассмотрим заданную арифметическую прогрессию: 4; 8; 12; ... .

Первый член прогрессии $a_1 = 4$. Найдем разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = 8 - 4 = 4$.

Возьмем, к примеру, второй член прогрессии, $a_2 = 8$. Соседними с ним являются первый член $a_1 = 4$ и третий член $a_3$. Найдем $a_3$: $a_3 = a_2 + d = 8 + 4 = 12$.

Найдем среднее арифметическое соседних с $a_2$ членов:

$\frac{a_1 + a_3}{2} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Полученное значение равно второму члену прогрессии: $8 = a_2$.

Теперь возьмем третий член прогрессии, $a_3 = 12$. Соседними с ним являются второй член $a_2 = 8$ и четвертый член $a_4$. Найдем $a_4$: $a_4 = a_3 + d = 12 + 4 = 16$.

Найдем среднее арифметическое соседних с $a_3$ членов:

$\frac{a_2 + a_4}{2} = \frac{8 + 16}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Полученное значение равно третьему члену прогрессии: $12 = a_3$.

Таким образом, мы убедились на примерах, что член прогрессии (кроме первого) равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.

Ответ: Проверка выполнена. Например, для члена $a_2=8$ среднее арифметическое его соседей $(4+12)/2=8$, что равно $a_2$. Для члена $a_3=12$ среднее арифметическое его соседей $(8+16)/2=12$, что равно $a_3$.

2)

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$. Нужно доказать, что для любого члена прогрессии $a_n$ при $n \ge 2$ выполняется равенство $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$.

По определению арифметической прогрессии, каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом $d$ (разностью прогрессии). Это можно записать в виде формул:

$a_{n+1} = a_n + d$ (для последующего члена)

$a_n = a_{n-1} + d$ (для текущего члена)

Из второго равенства выразим предыдущий член $a_{n-1}$: $a_{n-1} = a_n - d$.

Теперь найдем среднее арифметическое предыдущего ($a_{n-1}$) и последующего ($a_{n+1}$) членов:

$\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Подставим в это выражение $a_{n-1} = a_n - d$ и $a_{n+1} = a_n + d$:

$\frac{(a_n - d) + (a_n + d)}{2} = \frac{a_n - d + a_n + d}{2} = \frac{2a_n}{2} = a_n$

Таким образом, мы доказали, что $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$, что и требовалось.

Ответ: Утверждение доказано.

3)

а) Дана последовательность $a_1; 12; a_3; 18; a_5; a_6; ...$.

Известно, что $a_2 = 12$ и $a_4 = 18$.

Используя свойство арифметической прогрессии, доказанное в пункте 2, найдем $a_3$ как среднее арифметическое его соседей $a_2$ и $a_4$:

$a_3 = \frac{a_2 + a_4}{2} = \frac{12 + 18}{2} = \frac{30}{2} = 15$.

Теперь мы знаем три последовательных члена: 12, 15, 18. Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_3 - a_2 = 15 - 12 = 3$.

Теперь можем найти остальные неизвестные члены:

$a_1 = a_2 - d = 12 - 3 = 9$.

$a_5 = a_4 + d = 18 + 3 = 21$.

$a_6 = a_5 + d = 21 + 3 = 24$.

Ответ: $a_1 = 9, a_3 = 15, a_5 = 21, a_6 = 24$.

б) Дана последовательность $-7; a_2; -17; ...; a_{15}; -82; a_{17}; ...$.

Известно, что $a_1 = -7$ и $a_3 = -17$.

Найдем $a_2$ как среднее арифметическое его соседей $a_1$ и $a_3$:

$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} = \frac{-7 + (-17)}{2} = \frac{-24}{2} = -12$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = -12 - (-7) = -12 + 7 = -5$.

Из записи `...; $a_{15}$; -82; $a_{17}$; ...` следует, что $a_{16} = -82$. Проверим это, используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$a_{16} = -7 + (16-1) \cdot (-5) = -7 + 15 \cdot (-5) = -7 - 75 = -82$. Предположение верно.

Теперь найдем оставшиеся неизвестные члены $a_{15}$ и $a_{17}$:

$a_{15} = a_{16} - d = -82 - (-5) = -82 + 5 = -77$.

$a_{17} = a_{16} + d = -82 + (-5) = -87$.

Ответ: $a_2 = -12, a_{15} = -77, a_{17} = -87$.