Страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

625 Найдите сумму:

а) всех двузначных чисел, кратных 5;

б) всех трёхзначных чисел, кратных 15;

в) всех двузначных чисел, которые не делятся на 6.

а) Найдем сумму всех двузначных чисел, кратных 5. Эти числа образуют арифметическую прогрессию.

Двузначные числа находятся в диапазоне от 10 до 99. Первый член этой прогрессии (наименьшее двузначное число, кратное 5) - это $a_1 = 10$. Последний член (наибольшее двузначное число, кратное 5) - это $a_n = 95$. Разность прогрессии $d = 5$.

Чтобы найти сумму, сначала определим количество членов $n$ в этой прогрессии по формуле n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$95 = 10 + (n-1) \cdot 5$

$85 = 5(n-1)$

$n-1 = \frac{85}{5} = 17$

$n = 18$

Теперь вычислим сумму прогрессии по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_{18} = \frac{10 + 95}{2} \cdot 18 = \frac{105}{2} \cdot 18 = 105 \cdot 9 = 945$.

Ответ: 945.

б) Найдем сумму всех трёхзначных чисел, кратных 15. Эти числа также образуют арифметическую прогрессию.

Трёхзначные числа находятся в диапазоне от 100 до 999. Первый член прогрессии (наименьшее трёхзначное число, кратное 15) - это $a_1 = 105$ (т.к. $15 \cdot 7 = 105$). Последний член (наибольшее трёхзначное число, кратное 15) - это $a_n = 990$ (т.к. $15 \cdot 66 = 990$). Разность прогрессии $d = 15$.

Найдем количество членов $n$:

$990 = 105 + (n-1) \cdot 15$

$885 = 15(n-1)$

$n-1 = \frac{885}{15} = 59$

$n = 60$

Теперь вычислим сумму прогрессии:

$S_{60} = \frac{105 + 990}{2} \cdot 60 = \frac{1095}{2} \cdot 60 = 1095 \cdot 30 = 32850$.

Ответ: 32850.

в) Чтобы найти сумму всех двузначных чисел, которые не делятся на 6, мы найдем сумму всех двузначных чисел и вычтем из нее сумму тех двузначных чисел, которые делятся на 6.

1. Сумма всех двузначных чисел.

Двузначные числа от 10 до 99 образуют арифметическую прогрессию, где $a_1 = 10$, $a_n = 99$, а количество членов $n = 99 - 10 + 1 = 90$. Сумма всех двузначных чисел: $S_{всех} = \frac{10 + 99}{2} \cdot 90 = \frac{109}{2} \cdot 90 = 109 \cdot 45 = 4905$.

2. Сумма двузначных чисел, которые делятся на 6.

Эти числа также образуют арифметическую прогрессию. Первый член $b_1 = 12$. Последний член $b_m = 96$. Разность $d=6$. Количество членов $m = \frac{96-12}{6} + 1 = \frac{84}{6} + 1 = 14 + 1 = 15$. Сумма этих чисел: $S_{кратных\;6} = \frac{12 + 96}{2} \cdot 15 = \frac{108}{2} \cdot 15 = 54 \cdot 15 = 810$.

3. Искомая сумма.

Вычтем из общей суммы сумму чисел, кратных 6: $S = S_{всех} - S_{кратных\;6} = 4905 - 810 = 4095$.

Ответ: 4095.

626 Найдите сумму:

a) всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 120;

б) всех натуральных чисел, кратных 4 и заключённых между 50 и 150;

в) всех натуральных чисел, меньших 100, которые не делятся на 5.

а)

Требуется найти сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 120. Эти числа (3, 6, 9, ..., 120) образуют арифметическую прогрессию.

Характеристики этой прогрессии:
Первый член $a_1 = 3$.
Последний член $a_n = 120$.
Разность прогрессии $d = 3$.

Сначала найдем количество членов ($n$) в прогрессии, используя формулу $n$-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$120 = 3 + (n-1) \cdot 3$
$117 = (n-1) \cdot 3$
$n-1 = \frac{117}{3} = 39$
$n = 40$

Теперь вычислим сумму прогрессии, используя формулу $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{40} = \frac{3 + 120}{2} \cdot 40 = \frac{123}{2} \cdot 40 = 123 \cdot 20 = 2460$.

Ответ: 2460.

б)

Нам нужно найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и заключённых между 50 и 150. Это числа, которые строго больше 50 и строго меньше 150. Они также образуют арифметическую прогрессию.

Найдем первый и последний члены этой прогрессии, а также ее разность.
Первый член ($a_1$) - это наименьшее число, большее 50 и кратное 4. Это $52$ ($13 \cdot 4$).
Последний член ($a_n$) - это наибольшее число, меньшее 150 и кратное 4. Это $148$ ($37 \cdot 4$).
Разность прогрессии $d = 4$.

Найдем количество членов ($n$) в прогрессии по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$148 = 52 + (n-1) \cdot 4$
$96 = (n-1) \cdot 4$
$n-1 = \frac{96}{4} = 24$
$n = 25$

Вычислим сумму прогрессии по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{25} = \frac{52 + 148}{2} \cdot 25 = \frac{200}{2} \cdot 25 = 100 \cdot 25 = 2500$.

Ответ: 2500.

в)

Для нахождения суммы всех натуральных чисел меньше 100, которые не делятся на 5, мы сначала найдем сумму всех натуральных чисел от 1 до 99, а затем вычтем из нее сумму тех чисел из этого диапазона, которые делятся на 5.

1. Сумма всех натуральных чисел от 1 до 99. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 1$, последним $a_{99} = 99$ и количеством членов $n=99$. Сумма $S_{всех}$ находится по формуле: $S_{всех} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1 + 99}{2} \cdot 99 = \frac{100}{2} \cdot 99 = 50 \cdot 99 = 4950$.

2. Сумма натуральных чисел от 1 до 99, которые делятся на 5. Эти числа (5, 10, 15, ..., 95) также образуют арифметическую прогрессию. Здесь первый член $b_1 = 5$, последний член $b_m = 95$, и разность $d = 5$. Найдем количество членов $m$: $95 = 5 + (m-1)5$, что дает $90 = 5(m-1)$, $m-1 = 18$, и $m=19$. Сумма этих чисел $S_{кратных\,5}$: $S_{кратных\,5} = \frac{b_1 + b_m}{2} \cdot m = \frac{5 + 95}{2} \cdot 19 = \frac{100}{2} \cdot 19 = 50 \cdot 19 = 950$.

3. Вычтем вторую сумму из первой, чтобы получить искомый результат: $S = S_{всех} - S_{кратных\,5} = 4950 - 950 = 4000$.

Ответ: 4000.

б) всех натуральных чисел, кратных 4 и заключённых между 50 и 150;

в) всех натуральных чисел, меньших 100, которые не делятся на 5.

627 Треугольники, соответствующие треугольным числам, составляют пирамиду (рис. 4.7).

а) Сколько шаров в основании пирамиды, если она состоит из 8 слоёв?

б) Можно ли найти общее число шаров в пирамиде из 8 слоёв по формуле суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии? Сколько всего шаров в такой пирамиде?

Рис. 4.7

а) Количество шаров в основании пирамиды, состоящей из 8 слоёв, равно восьмому треугольному числу. Треугольное число с номером n — это сумма первых n натуральных чисел. Его можно найти по формуле $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Для основания пирамиды из 8 слоёв необходимо рассчитать $T_8$:

$T_8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36$.

Или, используя формулу:

$T_8 = \frac{8 \cdot (8+1)}{2} = \frac{8 \cdot 9}{2} = \frac{72}{2} = 36$.

Ответ: В основании пирамиды 36 шаров.

б) Сначала ответим на первую часть вопроса: можно ли найти общее число шаров, используя формулу для суммы членов арифметической прогрессии.

Для этого нужно проверить, образует ли количество шаров в каждом слое арифметическую прогрессию. Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой разность между соседними членами постоянна.

Выпишем количество шаров в каждом из 8 слоев, начиная с верхнего (это треугольные числа от $T_1$ до $T_8$):

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36.

Теперь найдем разность между соседними членами этой последовательности:

$3 - 1 = 2$

$6 - 3 = 3$

$10 - 6 = 4$

Разности ($2, 3, 4, \dots$) не являются постоянной величиной. Следовательно, эта последовательность не является арифметической прогрессией, и использовать формулу для суммы ее членов нельзя.

Теперь найдем общее число шаров в пирамиде. Для этого нужно просто сложить количество шаров во всех 8 слоях:

$S_{общ} = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 = 120$.

Ответ: Нет, найти общее число шаров по формуле суммы членов арифметической прогрессии нельзя, так как последовательность количеств шаров в слоях не является арифметической прогрессией. Всего в пирамиде 120 шаров.

б) Можно ли найти общее число шаров в пирамиде из 8 слоёв по формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии? Сколько всего шаров в такой пирамиде?

628 Круги укладывают в форме шестиугольника так, как показано на рисунке 4.8: в центре помещают один круг и укладывают вокруг него круги таким образом, что они образуют пояса — первый, второй, третий и т. д. Определите закономерность, по которой увеличивается число кругов в поясах.

а) Сколько всего кругов в шестиугольнике, содержащем 3 пояса? 10 поясов?

б) Сколько поясов содержится в шестиугольнике, если в нём 127 кругов?

Сначала определим закономерность, по которой увеличивается число кругов. В центре находится 1 круг. Проанализировав рисунок, можно посчитать количество кругов в каждом "поясе":

В первом поясе — 6 кругов.

Во втором поясе — 12 кругов.

В третьем поясе — 18 кругов.

Мы видим, что количество кругов в каждом последующем поясе увеличивается на 6. Эта последовательность $(6, 12, 18, \dots)$ является арифметической прогрессией. Пусть $a_n$ — количество кругов в $n$-м поясе. Тогда первый член прогрессии $a_1 = 6$, а разность $d=6$. Формула для количества кругов в $n$-м поясе:

$a_n = a_1 + (n-1)d = 6 + (n-1)6 = 6 + 6n - 6 = 6n$.

Теперь найдем формулу для общего числа кругов $S_n$ в шестиугольнике, который содержит $n$ поясов. Это число равно сумме центрального круга и всех кругов в поясах с 1-го по $n$-й:

$S_n = 1 + a_1 + a_2 + \dots + a_n$

Сумма кругов в поясах — это сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии, которую можно найти по формуле:

$\sum_{i=1}^{n} a_i = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{6 + 6n}{2} \cdot n = 3(1+n)n = 3n(n+1)$.

Следовательно, итоговая формула для общего числа кругов в шестиугольнике с $n$ поясами:

$S_n = 1 + 3n(n+1)$.

Используя эту формулу, решим задачи из подпунктов.

а) Сколько всего кругов в шестиугольнике, содержащем 3 пояса? 10 поясов?

Чтобы найти общее число кругов в шестиугольнике с 3 поясами, подставим $n=3$ в выведенную формулу:

$S_3 = 1 + 3 \cdot 3 \cdot (3+1) = 1 + 9 \cdot 4 = 1 + 36 = 37$.

Чтобы найти общее число кругов в шестиугольнике с 10 поясами, подставим $n=10$ в формулу:

$S_{10} = 1 + 3 \cdot 10 \cdot (10+1) = 1 + 30 \cdot 11 = 1 + 330 = 331$.

Ответ: в шестиугольнике с 3 поясами 37 кругов, а с 10 поясами — 331 круг.

б) Сколько поясов содержится в шестиугольнике, если в нём 127 кругов?

Нам известно общее число кругов $S_n = 127$. Необходимо найти число поясов $n$. Используем выведенную ранее формулу:

$S_n = 1 + 3n(n+1) = 127$

Решим это уравнение относительно $n$:

$3n(n+1) = 127 - 1$

$3n(n+1) = 126$

$n(n+1) = \frac{126}{3}$

$n(n+1) = 42$

Мы ищем два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 42. Методом подбора легко найти, что $6 \cdot 7 = 42$, следовательно, $n=6$.

Это же уравнение можно решить как квадратное:

$n^2 + n - 42 = 0$

Используя формулу для корней квадратного уравнения или теорему Виета, находим корни: $n_1 = 6$ и $n_2 = -7$.

Поскольку число поясов $n$ не может быть отрицательным, то подходит только корень $n=6$.

Ответ: в шестиугольнике содержится 6 поясов.

Т. д. Определите закономерность, по которой увеличивается число кругов в поясах.

а) Сколько всего кругов в шестиугольнике, содержащем 3 пояса?

10 поясов?

б) Сколько поясов содержится в шестиугольнике, если в нём 127 кругов?

629 Фигура, изображённая на рисунке 4.9, состоит из столбцов, каждый из которых на 2 единицы длиннее предыдущего. Основание каждого столбца равно 1.

Рис. 4.9

а) Найдите площадь фигуры (в кв. ед.), если в ней 8 столбцов; 100 столбцов; $n$ столбцов.

б) Сколько всего столбцов в фигуре, если её площадь равна 100 кв. ед.?

а)

Фигура состоит из столбцов, высоты которых образуют арифметическую прогрессию. Высота первого столбца $a_1 = 1$. Каждый следующий столбец на 2 единицы выше предыдущего, следовательно, разность прогрессии $d = 2$. Таким образом, высоты столбцов представляют собой последовательность нечетных натуральных чисел: 1, 3, 5, 7, ...

Высота $n$-го столбца определяется по формуле $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + (n-1)2 = 2n - 1$.

Площадь фигуры равна сумме площадей всех ее столбцов. Поскольку основание каждого столбца равно 1, площадь каждого столбца численно равна его высоте. Общая площадь фигуры с $n$ столбцами, $S_n$, равна сумме первых $n$ членов этой прогрессии (то есть сумме первых $n$ нечетных чисел).

Используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$.

Подставив наши значения, получаем общую формулу для площади фигуры: $S_n = \frac{(1 + (2n - 1))n}{2} = \frac{2n \cdot n}{2} = n^2$.

Теперь рассчитаем площадь для каждого конкретного случая:

- Для 8 столбцов ($n=8$):
Площадь $S_8 = 8^2 = 64$ кв. ед.

- Для 100 столбцов ($n=100$):
Площадь $S_{100} = 100^2 = 10000$ кв. ед.

- Для $n$ столбцов:
Площадь $S_n = n^2$ кв. ед.

Ответ: 64 кв. ед.; 10000 кв. ед.; $n^2$ кв. ед.

б)

Требуется найти количество столбцов $n$ в фигуре, если её площадь $S_n$ равна 100 кв. ед.

Используем формулу для площади, выведенную в пункте а): $S_n = n^2$.

Подставим известное значение площади в уравнение:

$n^2 = 100$

Чтобы найти $n$, необходимо извлечь квадратный корень. Поскольку количество столбцов $n$ является положительным целым числом, мы рассматриваем только арифметический корень:

$n = \sqrt{100} = 10$

Следовательно, фигура с площадью 100 кв. ед. состоит из 10 столбцов.

Ответ: 10 столбцов.