Страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

618 В первом ряду лекционной аудитории 20 мест, а в каждом следующем ряду на 4 места больше, чем в предыдущем. В аудитории 16 рядов. Сколько всего мест в аудитории?

Количество мест в рядах лекционной аудитории представляет собой арифметическую прогрессию, так как в каждом следующем ряду количество мест увеличивается на одно и то же число.

Определим параметры этой прогрессии из условия задачи:

• Первый член прогрессии $a_1$ — это количество мест в первом ряду, следовательно, $a_1 = 20$.
• Разность прогрессии $d$ — это число, на которое увеличивается количество мест в каждом следующем ряду, следовательно, $d = 4$.
• Количество членов прогрессии $n$ — это общее число рядов в аудитории, следовательно, $n = 16$.

Чтобы найти общее количество мест в аудитории, необходимо вычислить сумму первых $n$ членов данной арифметической прогрессии ($S_n$). Для этого используется формула:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в эту формулу:

$S_{16} = \frac{2 \cdot 20 + 4 \cdot (16-1)}{2} \cdot 16$

Теперь выполним вычисления по шагам:
1. Сначала вычисляем выражение в скобках: $16 - 1 = 15$.
2. Затем выполняем умножения в числителе: $2 \cdot 20 = 40$ и $4 \cdot 15 = 60$.
3. Складываем результаты в числителе: $40 + 60 = 100$.
4. Теперь формула выглядит так: $S_{16} = \frac{100}{2} \cdot 16$.
5. Выполняем деление и умножение: $S_{16} = 50 \cdot 16 = 800$.

Таким образом, общее количество мест в аудитории составляет 800.

Ответ: 800.

619 В амфитеатре концертного зала 15 рядов, и число кресел в каждом ряду увеличивается на 2 по сравнению с предыдущим. В последнем ряду 35 кресел. Сколько кресел в первом ряду? Сколько всего кресел в амфитеатре?

Данная задача описывает арифметическую прогрессию, где количество кресел в каждом ряду является членом этой прогрессии.

Обозначим:

• $a_1$ — количество кресел в первом ряду.
• $n$ — общее количество рядов, $n=15$.
• $d$ — разность прогрессии (на сколько увеличивается количество кресел в каждом следующем ряду), $d=2$.
• $a_{15}$ — количество кресел в последнем, 15-м ряду, $a_{15}=35$.

Для нахождения количества кресел в первом ряду ($a_1$) используем формулу для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Мы знаем, что в 15-м ряду 35 кресел, то есть $a_{15} = 35$. Подставим известные значения в формулу:

$35 = a_1 + (15-1) \cdot 2$

$35 = a_1 + 14 \cdot 2$

$35 = a_1 + 28$

Отсюда выразим $a_1$:

$a_1 = 35 - 28$

$a_1 = 7$

Ответ: в первом ряду 7 кресел.

Для нахождения общего числа кресел в амфитеатре нужно найти сумму всех членов арифметической прогрессии от 1-го до 15-го. Используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Нам известны все необходимые компоненты: $a_1 = 7$ (из предыдущего пункта), $a_{15} = 35$ и $n=15$. Подставим их в формулу:

$S_{15} = \frac{7 + 35}{2} \cdot 15$

$S_{15} = \frac{42}{2} \cdot 15$

$S_{15} = 21 \cdot 15$

$S_{15} = 315$

Ответ: всего в амфитеатре 315 кресел.

620 Продолжительность прогулки грудного ребёнка в первый день составляет 20 мин. Затем она увеличивается ежедневно на 10 мин и доводится до 2 ч в день. На какой по счёту день длительность прогулки достигнет 2 ч и сколько всего времени за эти дни ребёнок проведёт на воздухе?

Данная задача решается с помощью формул арифметической прогрессии. Длительность прогулок по дням образует последовательность, где каждый следующий член больше предыдущего на одно и то же число.

• Первый член прогрессии $a_1$ (продолжительность прогулки в первый день) равен 20 мин.
• Разность прогрессии $d$ (ежедневное увеличение времени прогулки) равна 10 мин.
• Конечный член прогрессии $a_n$ (целевая продолжительность прогулки) составляет 2 часа. Переведем это время в минуты: $2 \text{ ч} = 2 \times 60 = 120$ мин.

На какой по счёту день длительность прогулки достигнет 2 ч

Чтобы определить номер дня $n$, в который длительность прогулки составит 120 минут, воспользуемся формулой для нахождения $n$-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
Подставим в нее известные значения:
$120 = 20 + (n-1) \cdot 10$
Теперь решим уравнение относительно $n$:
$120 - 20 = (n-1) \cdot 10$
$100 = (n-1) \cdot 10$
$10 = n - 1$
$n = 11$
Следовательно, длительность прогулки достигнет 2 часов на 11-й день.
Ответ: на 11-й день.

и сколько всего времени за эти дни ребёнок проведёт на воздухе?

Чтобы найти суммарное время, которое ребёнок провел на воздухе за все эти дни, необходимо вычислить сумму первых 11 членов ($n=11$) данной арифметической прогрессии. Воспользуемся формулой суммы:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим известные значения: $a_1 = 20$ мин, $a_{11} = 120$ мин, $n = 11$.
$S_{11} = \frac{20 + 120}{2} \cdot 11$
$S_{11} = \frac{140}{2} \cdot 11$
$S_{11} = 70 \cdot 11 = 770$ мин.
Для удобства восприятия переведем общее время из минут в часы и минуты:
$770 \text{ мин} = 12 \times 60 \text{ мин} + 50 \text{ мин} = 12 \text{ ч } 50 \text{ мин}$.
Ответ: 12 ч 50 мин.

ВЫБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ (621–622)

621 Арифметическая прогрессия задана формулой $a_n = 3n + 5$.

Найдите:

а) $S_{10}$;

б) $S_{20}$;

в) $S_n$.

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Арифметическая прогрессия задана формулой $n$-го члена $a_n = 3n + 5$.

Сначала найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив $n=1$ в эту формулу:

$a_1 = 3 \cdot 1 + 5 = 8$.

а) Найдем сумму первых 10 членов, $S_{10}$.

Сначала найдем 10-й член прогрессии $a_{10}$:

$a_{10} = 3 \cdot 10 + 5 = 30 + 5 = 35$.

Теперь вычислим сумму, подставив $n=10$, $a_1=8$ и $a_{10}=35$ в формулу суммы:

$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{8 + 35}{2} \cdot 10 = \frac{43}{2} \cdot 10 = 43 \cdot 5 = 215$.

Ответ: $S_{10} = 215$.

б) Найдем сумму первых 20 членов, $S_{20}$.

Сначала найдем 20-й член прогрессии $a_{20}$:

$a_{20} = 3 \cdot 20 + 5 = 60 + 5 = 65$.

Теперь вычислим сумму, подставив $n=20$, $a_1=8$ и $a_{20}=65$ в формулу суммы:

$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{8 + 65}{2} \cdot 20 = \frac{73}{2} \cdot 20 = 73 \cdot 10 = 730$.

Ответ: $S_{20} = 730$.

в) Найдем формулу для суммы первых $n$ членов, $S_n$.

Мы знаем, что $a_1 = 8$ и $a_n = 3n + 5$. Подставим эти выражения в общую формулу суммы:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{8 + (3n + 5)}{2} \cdot n = \frac{3n + 13}{2} \cdot n = \frac{n(3n+13)}{2}$.

Ответ: $S_n = \frac{n(3n+13)}{2}$.

622 Арифметическая прогрессия ($a_n$) задана формулой

$a_n = 10 - 4n.$

a) Составьте формулу для вычисления суммы первых n членов этой прогрессии.

б) Пользуясь этой формулой, найдите сумму первых тридцати членов этой прогрессии.

в) Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, сложили, если в сумме получилось $-120?$

а) Для того чтобы составить формулу для вычисления суммы первых $n$ членов прогрессии ($S_n$), воспользуемся стандартной формулой суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Заданная формула для $n$-го члена прогрессии: $a_n = 10 - 4n$.

Найдем первый член прогрессии, $a_1$, подставив $n=1$ в эту формулу:

$a_1 = 10 - 4 \cdot 1 = 10 - 4 = 6$.

Теперь подставим известные значения $a_1=6$ и $a_n = 10 - 4n$ в формулу суммы:

$S_n = \frac{6 + (10 - 4n)}{2} \cdot n$.

Упростим полученное выражение:

$S_n = \frac{16 - 4n}{2} \cdot n = (8 - 2n) \cdot n = 8n - 2n^2$.

Ответ: $S_n = 8n - 2n^2$.

б) Чтобы найти сумму первых тридцати членов этой прогрессии, воспользуемся формулой, полученной в пункте (а): $S_n = 8n - 2n^2$.

Подставим $n=30$ в эту формулу:

$S_{30} = 8 \cdot 30 - 2 \cdot (30)^2 = 240 - 2 \cdot 900$.

$S_{30} = 240 - 1800 = -1560$.

Ответ: -1560.

в) Нам необходимо найти количество членов прогрессии $n$, если их сумма $S_n$ равна –120.

Воспользуемся формулой суммы $S_n = 8n - 2n^2$ и составим уравнение:

$8n - 2n^2 = -120$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$2n^2 - 8n - 120 = 0$.

Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:

$n^2 - 4n - 60 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{4 + \sqrt{256}}{2} = \frac{4 + 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

$n_2 = \frac{4 - \sqrt{256}}{2} = \frac{4 - 16}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

Поскольку количество членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом, корень $n_2 = -6$ не подходит. Таким образом, количество членов, которые сложили, равно 10.

Ответ: 10.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (623–629)

623 Найдите сумму:

а) всех натуральных чисел от 45 до 90;

б) всех целых чисел от -100 до -65;

в) всех двузначных чисел;

г) всех трёхзначных чисел.

а) Для нахождения суммы всех натуральных чисел от 45 до 90 мы имеем дело с арифметической прогрессией. В этой последовательности чисел первый член $a_1 = 45$, последний член $a_n = 90$, а разность прогрессии $d = 1$.
Сначала найдем количество членов в этой прогрессии по формуле $n = a_n - a_1 + 1$:
$n = 90 - 45 + 1 = 46$
Теперь используем формулу суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{46} = \frac{45 + 90}{2} \cdot 46 = \frac{135}{2} \cdot 46 = 135 \cdot 23 = 3105$.
Ответ: 3105

б) Для нахождения суммы всех целых чисел от -100 до -65 мы также имеем дело с арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии $a_1 = -100$.
Последний член прогрессии $a_n = -65$.
Количество членов прогрессии $n$ найдем по формуле $n = a_n - a_1 + 1$:
$n = -65 - (-100) + 1 = -65 + 100 + 1 = 36$.
Сумму найдем по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{36} = \frac{-100 + (-65)}{2} \cdot 36 = \frac{-165}{2} \cdot 36 = -165 \cdot 18 = -2970$.
Ответ: -2970

в) Сумма всех двузначных чисел. Двузначные числа — это натуральные числа от 10 до 99 включительно. Эта последовательность является арифметической прогрессией.
Первый член $a_1 = 10$.
Последний член $a_n = 99$.
Количество членов $n = 99 - 10 + 1 = 90$.
Находим сумму по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{90} = \frac{10 + 99}{2} \cdot 90 = \frac{109}{2} \cdot 90 = 109 \cdot 45 = 4905$.
Ответ: 4905

г) Сумма всех трёхзначных чисел. Трёхзначные числа — это натуральные числа от 100 до 999 включительно. Это также арифметическая прогрессия.
Первый член $a_1 = 100$.
Последний член $a_n = 999$.
Количество членов $n = 999 - 100 + 1 = 900$.
Находим сумму по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{900} = \frac{100 + 999}{2} \cdot 900 = \frac{1099}{2} \cdot 900 = 1099 \cdot 450 = 494550$.
Ответ: 494550

624 Найдите сумму:

а) чётных чисел от 30 до 98;

б) нечётных чисел от 15 до 85.

а) чётных чисел от 30 до 98;

Последовательность чётных чисел от 30 до 98 (включительно) представляет собой арифметическую прогрессию: 30, 32, 34, ..., 98.

Параметры этой прогрессии:

• Первый член прогрессии $a_1 = 30$.
• Последний член прогрессии $a_n = 98$.
• Разность прогрессии $d = 2$, так как мы рассматриваем последовательные чётные числа.

Сначала найдём количество членов $n$ в этой прогрессии, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения в формулу:

$98 = 30 + (n-1) \cdot 2$

Решим уравнение относительно $n$:

$98 - 30 = 2(n-1)$

$68 = 2(n-1)$

$n-1 = \frac{68}{2}$

$n-1 = 34$

$n = 35$

Итак, в данной последовательности 35 чисел.

Теперь вычислим сумму этих чисел, используя формулу суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим наши значения:

$S_{35} = \frac{30 + 98}{2} \cdot 35$

$S_{35} = \frac{128}{2} \cdot 35$

$S_{35} = 64 \cdot 35$

$S_{35} = 2240$

Ответ: 2240

б) нечётных чисел от 15 до 85.

Последовательность нечётных чисел от 15 до 85 (включительно) также является арифметической прогрессией: 15, 17, 19, ..., 85.

Параметры этой прогрессии:

• Первый член прогрессии $a_1 = 15$.
• Последний член прогрессии $a_n = 85$.
• Разность прогрессии $d = 2$, так как мы рассматриваем последовательные нечётные числа.

Сначала найдём количество членов $n$ в этой прогрессии по формуле: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения:

$85 = 15 + (n-1) \cdot 2$

Решим уравнение относительно $n$:

$85 - 15 = 2(n-1)$

$70 = 2(n-1)$

$n-1 = \frac{70}{2}$

$n-1 = 35$

$n = 36$

Итак, в данной последовательности 36 чисел.

Теперь вычислим сумму этих чисел по формуле суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим наши значения:

$S_{36} = \frac{15 + 85}{2} \cdot 36$

$S_{36} = \frac{100}{2} \cdot 36$

$S_{36} = 50 \cdot 36$

$S_{36} = 1800$

Ответ: 1800