Номер 622, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 622, страница 243.

622 Арифметическая прогрессия ($a_n$) задана формулой

$a_n = 10 - 4n.$

a) Составьте формулу для вычисления суммы первых n членов этой прогрессии.

б) Пользуясь этой формулой, найдите сумму первых тридцати членов этой прогрессии.

в) Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, сложили, если в сумме получилось $-120?$

а) Для того чтобы составить формулу для вычисления суммы первых $n$ членов прогрессии ($S_n$), воспользуемся стандартной формулой суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Заданная формула для $n$-го члена прогрессии: $a_n = 10 - 4n$.

Найдем первый член прогрессии, $a_1$, подставив $n=1$ в эту формулу:

$a_1 = 10 - 4 \cdot 1 = 10 - 4 = 6$.

Теперь подставим известные значения $a_1=6$ и $a_n = 10 - 4n$ в формулу суммы:

$S_n = \frac{6 + (10 - 4n)}{2} \cdot n$.

Упростим полученное выражение:

$S_n = \frac{16 - 4n}{2} \cdot n = (8 - 2n) \cdot n = 8n - 2n^2$.

Ответ: $S_n = 8n - 2n^2$.

б) Чтобы найти сумму первых тридцати членов этой прогрессии, воспользуемся формулой, полученной в пункте (а): $S_n = 8n - 2n^2$.

Подставим $n=30$ в эту формулу:

$S_{30} = 8 \cdot 30 - 2 \cdot (30)^2 = 240 - 2 \cdot 900$.

$S_{30} = 240 - 1800 = -1560$.

Ответ: -1560.

в) Нам необходимо найти количество членов прогрессии $n$, если их сумма $S_n$ равна –120.

Воспользуемся формулой суммы $S_n = 8n - 2n^2$ и составим уравнение:

$8n - 2n^2 = -120$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$2n^2 - 8n - 120 = 0$.

Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:

$n^2 - 4n - 60 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{4 + \sqrt{256}}{2} = \frac{4 + 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

$n_2 = \frac{4 - \sqrt{256}}{2} = \frac{4 - 16}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

Поскольку количество членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом, корень $n_2 = -6$ не подходит. Таким образом, количество членов, которые сложили, равно 10.

Ответ: 10.