Номер 625, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 625, страница 244.

625 Найдите сумму:

а) всех двузначных чисел, кратных 5;

б) всех трёхзначных чисел, кратных 15;

в) всех двузначных чисел, которые не делятся на 6.

а) Найдем сумму всех двузначных чисел, кратных 5. Эти числа образуют арифметическую прогрессию.

Двузначные числа находятся в диапазоне от 10 до 99. Первый член этой прогрессии (наименьшее двузначное число, кратное 5) - это $a_1 = 10$. Последний член (наибольшее двузначное число, кратное 5) - это $a_n = 95$. Разность прогрессии $d = 5$.

Чтобы найти сумму, сначала определим количество членов $n$ в этой прогрессии по формуле n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$95 = 10 + (n-1) \cdot 5$

$85 = 5(n-1)$

$n-1 = \frac{85}{5} = 17$

$n = 18$

Теперь вычислим сумму прогрессии по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_{18} = \frac{10 + 95}{2} \cdot 18 = \frac{105}{2} \cdot 18 = 105 \cdot 9 = 945$.

Ответ: 945.

б) Найдем сумму всех трёхзначных чисел, кратных 15. Эти числа также образуют арифметическую прогрессию.

Трёхзначные числа находятся в диапазоне от 100 до 999. Первый член прогрессии (наименьшее трёхзначное число, кратное 15) - это $a_1 = 105$ (т.к. $15 \cdot 7 = 105$). Последний член (наибольшее трёхзначное число, кратное 15) - это $a_n = 990$ (т.к. $15 \cdot 66 = 990$). Разность прогрессии $d = 15$.

Найдем количество членов $n$:

$990 = 105 + (n-1) \cdot 15$

$885 = 15(n-1)$

$n-1 = \frac{885}{15} = 59$

$n = 60$

Теперь вычислим сумму прогрессии:

$S_{60} = \frac{105 + 990}{2} \cdot 60 = \frac{1095}{2} \cdot 60 = 1095 \cdot 30 = 32850$.

Ответ: 32850.

в) Чтобы найти сумму всех двузначных чисел, которые не делятся на 6, мы найдем сумму всех двузначных чисел и вычтем из нее сумму тех двузначных чисел, которые делятся на 6.

1. Сумма всех двузначных чисел.

Двузначные числа от 10 до 99 образуют арифметическую прогрессию, где $a_1 = 10$, $a_n = 99$, а количество членов $n = 99 - 10 + 1 = 90$. Сумма всех двузначных чисел: $S_{всех} = \frac{10 + 99}{2} \cdot 90 = \frac{109}{2} \cdot 90 = 109 \cdot 45 = 4905$.

2. Сумма двузначных чисел, которые делятся на 6.

Эти числа также образуют арифметическую прогрессию. Первый член $b_1 = 12$. Последний член $b_m = 96$. Разность $d=6$. Количество членов $m = \frac{96-12}{6} + 1 = \frac{84}{6} + 1 = 14 + 1 = 15$. Сумма этих чисел: $S_{кратных\;6} = \frac{12 + 96}{2} \cdot 15 = \frac{108}{2} \cdot 15 = 54 \cdot 15 = 810$.

3. Искомая сумма.

Вычтем из общей суммы сумму чисел, кратных 6: $S = S_{всех} - S_{кратных\;6} = 4905 - 810 = 4095$.

Ответ: 4095.