Номер 629, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 629, страница 244.

Т. д. Определите закономерность, по которой увеличивается число кругов в поясах.

а) Сколько всего кругов в шестиугольнике, содержащем 3 пояса?

10 поясов?

б) Сколько поясов содержится в шестиугольнике, если в нём 127 кругов?

629 Фигура, изображённая на рисунке 4.9, состоит из столбцов, каждый из которых на 2 единицы длиннее предыдущего. Основание каждого столбца равно 1.

Рис. 4.9

а) Найдите площадь фигуры (в кв. ед.), если в ней 8 столбцов; 100 столбцов; $n$ столбцов.

б) Сколько всего столбцов в фигуре, если её площадь равна 100 кв. ед.?

а)

Фигура состоит из столбцов, высоты которых образуют арифметическую прогрессию. Высота первого столбца $a_1 = 1$. Каждый следующий столбец на 2 единицы выше предыдущего, следовательно, разность прогрессии $d = 2$. Таким образом, высоты столбцов представляют собой последовательность нечетных натуральных чисел: 1, 3, 5, 7, ...

Высота $n$-го столбца определяется по формуле $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + (n-1)2 = 2n - 1$.

Площадь фигуры равна сумме площадей всех ее столбцов. Поскольку основание каждого столбца равно 1, площадь каждого столбца численно равна его высоте. Общая площадь фигуры с $n$ столбцами, $S_n$, равна сумме первых $n$ членов этой прогрессии (то есть сумме первых $n$ нечетных чисел).

Используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$.

Подставив наши значения, получаем общую формулу для площади фигуры: $S_n = \frac{(1 + (2n - 1))n}{2} = \frac{2n \cdot n}{2} = n^2$.

Теперь рассчитаем площадь для каждого конкретного случая:

- Для 8 столбцов ($n=8$):
Площадь $S_8 = 8^2 = 64$ кв. ед.

- Для 100 столбцов ($n=100$):
Площадь $S_{100} = 100^2 = 10000$ кв. ед.

- Для $n$ столбцов:
Площадь $S_n = n^2$ кв. ед.

Ответ: 64 кв. ед.; 10000 кв. ед.; $n^2$ кв. ед.

б)

Требуется найти количество столбцов $n$ в фигуре, если её площадь $S_n$ равна 100 кв. ед.

Используем формулу для площади, выведенную в пункте а): $S_n = n^2$.

Подставим известное значение площади в уравнение:

$n^2 = 100$

Чтобы найти $n$, необходимо извлечь квадратный корень. Поскольку количество столбцов $n$ является положительным целым числом, мы рассматриваем только арифметический корень:

$n = \sqrt{100} = 10$

Следовательно, фигура с площадью 100 кв. ед. состоит из 10 столбцов.

Ответ: 10 столбцов.