Номер 597, страница 236 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.2. Арифметическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 597, страница 236.

597 РАССУЖДАЕМ

a) Запишите формулу $n$-го члена арифметической прогрессии 1; 8; 15; 22; ... . Определите, является ли членом этой прогрессии число 88; число 99. Если является, то укажите его номер и найдите предшествующий и последующий члены.

б) Запишите формулу $n$-го члена арифметической прогрессии ($a_n$), если $a_1 = 15$ и $d = -4$. Определите, является ли членом этой прогрессии число -105; число -200. Если является, то укажите его номер и найдите предшествующий и последующий члены.

а)

Дана арифметическая прогрессия: 1; 8; 15; 22; ...

1. Найдем формулу n-го члена прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Из последовательности видно, что первый член $a_1 = 1$.

Найдем разность прогрессии, вычтя из последующего члена предыдущий:

$d = a_2 - a_1 = 8 - 1 = 7$.

Проверим: $15 - 8 = 7$, $22 - 15 = 7$. Разность постоянна и равна 7.

Подставим значения $a_1 = 1$ и $d = 7$ в формулу:

$a_n = 1 + (n-1) \cdot 7 = 1 + 7n - 7 = 7n - 6$.

Итак, формула n-го члена данной прогрессии: $a_n = 7n - 6$.

2. Определим, является ли число 88 членом этой прогрессии.

Для этого приравняем $a_n$ к 88 и найдем $n$. Если $n$ — натуральное число, то 88 является членом прогрессии.

$7n - 6 = 88$

$7n = 88 + 6$

$7n = 94$

$n = \frac{94}{7} = 13\frac{3}{7}$

Так как $n$ не является натуральным числом, число 88 не является членом данной арифметической прогрессии.

3. Определим, является ли число 99 членом этой прогрессии.

Приравняем $a_n$ к 99 и найдем $n$:

$7n - 6 = 99$

$7n = 99 + 6$

$7n = 105$

$n = \frac{105}{7} = 15$

Так как $n = 15$ — натуральное число, то число 99 является 15-м членом прогрессии ($a_{15} = 99$).

4. Найдем предшествующий и последующий члены для 99.

Предшествующий член — это $a_{14}$:

$a_{14} = a_{15} - d = 99 - 7 = 92$.

Последующий член — это $a_{16}$:

$a_{16} = a_{15} + d = 99 + 7 = 106$.

Ответ: Формула n-го члена: $a_n = 7n - 6$. Число 88 не является членом прогрессии. Число 99 является членом прогрессии, его номер $n=15$. Предшествующий член равен 92, последующий — 106.

---

б)

Дана арифметическая прогрессия ($a_n$), где $a_1 = 15$ и $d = -4$.

1. Запишем формулу n-го члена прогрессии.

Используем общую формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения $a_1 = 15$ и $d = -4$:

$a_n = 15 + (n-1) \cdot (-4) = 15 - 4n + 4 = 19 - 4n$.

Итак, формула n-го члена данной прогрессии: $a_n = 19 - 4n$.

2. Определим, является ли число -105 членом этой прогрессии.

Приравняем $a_n$ к -105 и найдем $n$:

$19 - 4n = -105$

$-4n = -105 - 19$

$-4n = -124$

$n = \frac{-124}{-4} = 31$

Так как $n = 31$ — натуральное число, то число -105 является 31-м членом прогрессии ($a_{31} = -105$).

3. Найдем предшествующий и последующий члены для -105.

Предшествующий член — это $a_{30}$:

$a_{30} = a_{31} - d = -105 - (-4) = -105 + 4 = -101$.

Последующий член — это $a_{32}$:

$a_{32} = a_{31} + d = -105 + (-4) = -105 - 4 = -109$.

4. Определим, является ли число -200 членом этой прогрессии.

Приравняем $a_n$ к -200 и найдем $n$:

$19 - 4n = -200$

$-4n = -200 - 19$

$-4n = -219$

$n = \frac{-219}{-4} = \frac{219}{4} = 54.75$

Так как $n$ не является натуральным числом, число -200 не является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: Формула n-го члена: $a_n = 19 - 4n$. Число -105 является членом прогрессии, его номер $n=31$. Предшествующий член равен -101, последующий — -109. Число -200 не является членом прогрессии.