Номер 591, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.2. Арифметическая прогрессия. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 591, страница 235.

591 В арифметической прогрессии $(a_n)$ известны $a_5$ и $a_6$:

..., 11; 7; ... .

Запишите все предшествующие члены этой прогрессии и все последующие до десятого члена включительно. Сколько положительных членов в этой прогрессии? Начиная с какого номера члены прогрессии отрицательны?

По условию задачи, дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, в которой известны пятый и шестой члены: $a_5 = 11$ и $a_6 = 7$.

Для решения задачи сначала найдем разность прогрессии $(d)$ и ее первый член $(a_1)$.

1. Разность арифметической прогрессии вычисляется по формуле $d = a_{n+1} - a_n$.
$d = a_6 - a_5 = 7 - 11 = -4$.

2. Первый член найдем, используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим известные значения для $a_5$:
$11 = a_1 + (5-1) \times (-4)$
$11 = a_1 - 16$
$a_1 = 11 + 16 = 27$.

Теперь, зная $a_1 = 27$ и $d = -4$, можем ответить на вопросы.

Запишите все предшествующие члены этой прогрессии и все последующие до десятого члена включительно.

Зная первый член и разность, мы можем восстановить всю последовательность. Каждый следующий член равен предыдущему плюс разность $d$, а каждый предыдущий — следующему минус разность $d$.

Предшествующие члены ($a_1, a_2, a_3, a_4$):
$a_4 = a_5 - d = 11 - (-4) = 15$
$a_3 = a_4 - d = 15 - (-4) = 19$
$a_2 = a_3 - d = 19 - (-4) = 23$
$a_1 = a_2 - d = 23 - (-4) = 27$

Последующие члены ($a_7, a_8, a_9, a_{10}$):
$a_7 = a_6 + d = 7 + (-4) = 3$
$a_8 = a_7 + d = 3 + (-4) = -1$
$a_9 = a_8 + d = -1 + (-4) = -5$
$a_{10} = a_9 + d = -5 + (-4) = -9$

Полная последовательность с первого по десятый член выглядит так: 27; 23; 19; 15; 11; 7; 3; -1; -5; -9.

Ответ: Предшествующие члены: 27, 23, 19, 15. Последующие члены до десятого включительно: 3, -1, -5, -9.

Сколько положительных членов в этой прогрессии?

Чтобы найти количество положительных членов, нужно решить неравенство $a_n > 0$.
Формула n-го члена для данной прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d = 27 + (n-1)(-4) = 27 - 4n + 4 = 31 - 4n$.

Решим неравенство:
$31 - 4n > 0$
$31 > 4n$
$n < \frac{31}{4}$
$n < 7.75$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ — это натуральное число, то положительными будут члены с номерами от 1 до 7 включительно ($n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$). Всего таких членов 7.

Ответ: 7.

Начиная с какого номера члены прогрессии отрицательны?

Чтобы найти, с какого номера члены прогрессии становятся отрицательными, нужно решить неравенство $a_n < 0$.

Используем ту же формулу $a_n = 31 - 4n$ и решим неравенство:
$31 - 4n < 0$
$31 < 4n$
$n > \frac{31}{4}$
$n > 7.75$

Наименьшее натуральное число $n$, которое удовлетворяет этому условию, это $n=8$.
Проверим: $a_7 = 31 - 4 \times 7 = 3 > 0$, а $a_8 = 31 - 4 \times 8 = -1 < 0$.
Следовательно, члены прогрессии становятся отрицательными, начиная с восьмого номера.

Ответ: Начиная с 8-го номера.