Номер 613, страница 242 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 613, страница 242.

613 Дана сумма, слагаемые которой являются членами арифметической прогрессии. Впишите недостающие слагаемые и найдите значение этой суммы:

a) $23 + 27 + 31 + \dots + 51;$

б) $28 + 25 + 22 + \dots + 1.$

a) 23 + 27 + 31 + ... + 51;

Данная сумма представляет собой сумму членов арифметической прогрессии. Первый член прогрессии $a_1 = 23$. Второй член $a_2 = 27$. Найдем разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = 27 - 23 = 4$.

Теперь, зная разность, мы можем найти все недостающие слагаемые, последовательно прибавляя 4 к предыдущему члену: $a_3 = 27 + 4 = 31$ (соответствует условию) $a_4 = 31 + 4 = 35$ $a_5 = 35 + 4 = 39$ $a_6 = 39 + 4 = 43$ $a_7 = 43 + 4 = 47$ $a_8 = 47 + 4 = 51$ (соответствует последнему члену) Таким образом, недостающие слагаемые — это 35, 39, 43, 47.

Чтобы найти значение суммы, сначала определим общее количество слагаемых $n$. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим известные значения: $a_1 = 23$, $a_n = 51$, $d = 4$. $51 = 23 + (n-1) \cdot 4$ $28 = (n-1) \cdot 4$ $n-1 = \frac{28}{4} = 7$ $n = 7 + 1 = 8$. Всего в сумме 8 членов.

Теперь вычислим сумму по формуле суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. $S_8 = \frac{23 + 51}{2} \cdot 8 = \frac{74}{2} \cdot 8 = 37 \cdot 8 = 296$.

Ответ: недостающие слагаемые: 35, 39, 43, 47; значение суммы: 296.

б) 28 + 25 + 22 + ... + 1.

Это также сумма членов арифметической прогрессии. Первый член прогрессии $a_1 = 28$. Второй член $a_2 = 25$. Найдем разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = 25 - 28 = -3$.

Найдем недостающие слагаемые, последовательно прибавляя -3 (или вычитая 3) к предыдущему члену: $a_3 = 25 - 3 = 22$ (соответствует условию) $a_4 = 22 - 3 = 19$ $a_5 = 19 - 3 = 16$ $a_6 = 16 - 3 = 13$ $a_7 = 13 - 3 = 10$ $a_8 = 10 - 3 = 7$ $a_9 = 7 - 3 = 4$ $a_{10} = 4 - 3 = 1$ (соответствует последнему члену) Недостающие слагаемые — это 19, 16, 13, 10, 7, 4.

Определим общее количество слагаемых $n$, используя формулу n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим известные значения: $a_1 = 28$, $a_n = 1$, $d = -3$. $1 = 28 + (n-1) \cdot (-3)$ $1 - 28 = -3(n-1)$ $-27 = -3(n-1)$ $n-1 = \frac{-27}{-3} = 9$ $n = 9 + 1 = 10$. Всего в сумме 10 членов.

Вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. $S_{10} = \frac{28 + 1}{2} \cdot 10 = \frac{29}{2} \cdot 10 = 29 \cdot 5 = 145$.

Ответ: недостающие слагаемые: 19, 16, 13, 10, 7, 4; значение суммы: 145.