Номер 506, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.8. Уравнения с параметром. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 506, страница 201.

506 При каких значениях $c$ прямая $x + y = c$ касается окружности $x^2 + y^2 = 2$? пересекает эту окружность в двух точках?

Для решения данной задачи мы определим взаимное расположение прямой и окружности, сравнивая расстояние от центра окружности до прямой с радиусом окружности.

Уравнение окружности $x^2 + y^2 = 2$. Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат, точке $O(0, 0)$, и радиусом $R$, квадрат которого $R^2 = 2$. Следовательно, радиус $R = \sqrt{2}$.

Уравнение прямой $x + y = c$. Для вычисления расстояния до нее от центра окружности, запишем его в общем виде $Ax + By + C = 0$: $x + y - c = 0$. Здесь коэффициенты $A = 1$, $B = 1$, $C = -c$.

Расстояние $d$ от центра окружности $O(0, 0)$ до прямой вычисляется по формуле:

$d = \frac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - c|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-c|}{\sqrt{2}} = \frac{|c|}{\sqrt{2}}$

Теперь рассмотрим два случая, описанные в задаче.

касается окружности

Прямая касается окружности, если расстояние от центра окружности до прямой равно ее радиусу, то есть $d = R$.

Подставим известные значения в это равенство:

$\frac{|c|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

Решим полученное уравнение:

$|c| = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$

$|c| = 2$

Это уравнение справедливо для двух значений $c$: $c = 2$ и $c = -2$.

Ответ: $c = \pm 2$.

пересекает эту окружность в двух точках

Прямая пересекает окружность в двух различных точках, если расстояние от центра окружности до прямой меньше ее радиуса, то есть $d < R$.

Подставим известные значения в это неравенство:

$\frac{|c|}{\sqrt{2}} < \sqrt{2}$

Решим полученное неравенство:

$|c| < \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$

$|c| < 2$

Данное неравенство с модулем эквивалентно двойному неравенству $-2 < c < 2$.

Ответ: $c \in (-2, 2)$.