Номер 502, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.8. Уравнения с параметром. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 502, страница 201.

502 При каких значениях c данное уравнение имеет два корня; имеет два корня разных знаков:

а) $x^2 - 12x + c = 0;$

б) $x^2 + cx - 4 = 0;$

в) $2x^2 + cx + 2 = 0?$

Для решения задачи воспользуемся следующими свойствами квадратного уравнения $ax^2 + bx + k = 0$:

1. Уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант $D = b^2 - 4ak$ строго больше нуля ($D > 0$).
2. Уравнение имеет два корня разных знаков, если их произведение отрицательно. По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = k/a$. Таким образом, условие $k/a < 0$ гарантирует наличие двух корней разных знаков. Заметим, что если $k/a < 0$, то $ak < 0$, и дискриминант $D = b^2 - 4ak$ всегда будет положительным, так как $b^2 \ge 0$ и $-4ak > 0$.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

а) $x^2 - 12x + c = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a=1$, $b=-12$, свободный член равен $c$.

1. Условие наличия двух корней:

Дискриминант должен быть больше нуля: $D > 0$.$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 144 - 4c$.$144 - 4c > 0$$144 > 4c$$c < 36$.Уравнение имеет два корня при $c < 36$.

2. Условие наличия двух корней разных знаков:

Произведение корней должно быть отрицательным: $x_1 \cdot x_2 < 0$.По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = c/1 = c$.$c < 0$.Уравнение имеет два корня разных знаков при $c < 0$.

Ответ: уравнение имеет два корня при $c < 36$; имеет два корня разных знаков при $c < 0$.

б) $x^2 + cx - 4 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a=1$, $b=c$, свободный член равен $-4$.

1. Условие наличия двух корней:

Дискриминант должен быть больше нуля: $D > 0$.$D = c^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = c^2 + 16$.Неравенство $c^2 + 16 > 0$ выполняется для любого действительного значения $c$, так как $c^2 \ge 0$, и следовательно $c^2 + 16 \ge 16$.Таким образом, уравнение всегда имеет два различных корня.

2. Условие наличия двух корней разных знаков:

Произведение корней должно быть отрицательным: $x_1 \cdot x_2 < 0$.По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = -4/1 = -4$.Так как $-4 < 0$, произведение корней всегда отрицательно, независимо от значения $c$.Следовательно, уравнение всегда имеет два корня разных знаков.

Ответ: уравнение имеет два корня при любом значении $c$; имеет два корня разных знаков при любом значении $c$.

в) $2x^2 + cx + 2 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a=2$, $b=c$, свободный член равен $2$.

1. Условие наличия двух корней:

Дискриминант должен быть больше нуля: $D > 0$.$D = c^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = c^2 - 16$.$c^2 - 16 > 0$$(c - 4)(c + 4) > 0$.Решением этого неравенства является объединение интервалов $c < -4$ и $c > 4$.Уравнение имеет два корня при $c \in (-\infty; -4) \cup (4; \infty)$.

2. Условие наличия двух корней разных знаков:

Произведение корней должно быть отрицательным: $x_1 \cdot x_2 < 0$.По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = 2/2 = 1$.Так как произведение корней равно $1$, что является положительным числом, то у уравнения не может быть корней разных знаков. Если корни существуют, они всегда одного знака.

Ответ: уравнение имеет два корня при $c \in (-\infty; -4) \cup (4; \infty)$; не существует значений $c$, при которых уравнение имеет два корня разных знаков.