Номер 498, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Графическое исследование уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 498, страница 196.

498 С помощью графиков определите количество корней уравнения $x^2 - 4x - \sqrt{x} + 4 = 0$. Найдите приближённое значение большего корня с двумя знаками после запятой.

С помощью графиков определите количество корней уравнения $x^2-4x-\sqrt{x}+4=0$.
Для того чтобы графически определить количество корней, преобразуем данное уравнение. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Из-за наличия члена $\sqrt{x}$, ОДЗ уравнения: $x \ge 0$.
Перепишем уравнение, изолировав радикал в одной части: $x^2 - 4x + 4 = \sqrt{x}$
Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом разности: $(x-2)^2 = \sqrt{x}$
Теперь задача сводится к нахождению количества точек пересечения графиков двух функций: $y_1 = (x-2)^2$ и $y_2 = \sqrt{x}$.
1. График функции $y_1 = (x-2)^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке с координатами $(2, 0)$. 2. График функции $y_2 = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы $x=y^2$, исходящая из начала координат $(0, 0)$ и монотонно возрастающая.
Проанализируем поведение графиков, чтобы найти точки их пересечения:

• При $x=1$, получаем $y_1 = (1-2)^2 = 1$ и $y_2 = \sqrt{1} = 1$. Значения функций совпадают, значит, $x_1=1$ является корнем уравнения, а точка $(1, 1)$ — точкой пересечения графиков.
• В вершине параболы, при $x=2$, имеем $y_1 = (2-2)^2 = 0$, в то время как $y_2 = \sqrt{2} \approx 1.41$. Здесь парабола находится ниже графика корня.
• При $x=4$, имеем $y_1 = (4-2)^2 = 4$, а $y_2 = \sqrt{4} = 2$. Здесь парабола уже выше графика корня.

Так как обе функции непрерывны, а на отрезке $[2, 4]$ парабола переходит из положения "ниже" графика корня в положение "выше", то на интервале $(2, 4)$ должна быть еще одна точка пересечения, то есть второй корень уравнения.
При $x>4$ параболическая функция $y_1=(x-2)^2$ растет гораздо быстрее, чем функция $y_2=\sqrt{x}$, поэтому других точек пересечения не будет. Таким образом, графики пересекаются в двух точках, что означает, что исходное уравнение имеет два корня.
Ответ: 2 корня.

Найдите приближённое значение большего корня с двумя знаками после запятой.
Как мы установили, у уравнения два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 \in (2, 4)$. Больший корень — это $x_2$. Для нахождения его приближенного значения будем решать уравнение $(x-2)^2 = \sqrt{x}$ методом последовательных приближений.
Рассмотрим функцию $f(x) = (x-2)^2 - \sqrt{x}$. Нам нужно найти корень уравнения $f(x)=0$ на интервале $(2, 4)$.
Мы уже знаем, что $f(2) = -\sqrt{2} < 0$ и $f(4) = 2 > 0$. Сузим интервал поиска:

• $f(3) = (3-2)^2 - \sqrt{3} = 1 - 1.732... \approx -0.732 < 0$. Корень находится в интервале $(3, 4)$.
• $f(3.3) = (3.3-2)^2 - \sqrt{3.3} = 1.69 - 1.816... \approx -0.126 < 0$.
• $f(3.4) = (3.4-2)^2 - \sqrt{3.4} = 1.96 - 1.843... \approx 0.117 > 0$.

Корень находится в интервале $(3.3, 3.4)$. Уточним значение до второго знака после запятой:

• $f(3.35) = (3.35-2)^2 - \sqrt{3.35} = 1.8225 - 1.830... \approx -0.008 < 0$.
• $f(3.36) = (3.36-2)^2 - \sqrt{3.36} = 1.8496 - 1.833... \approx 0.0166 > 0$.

Корень находится в интервале $(3.35, 3.36)$. Чтобы определить, к какому значению корень ближе, можно проверить середину интервала, $x=3.355$: $f(3.355) = (3.355-2)^2 - \sqrt{3.355} \approx 1.836025 - 1.831666 \approx 0.004359 > 0$.
Так как $f(3.35) < 0$ и $f(3.355) > 0$, корень лежит в интервале $(3.35, 3.355)$. Любое число из этого интервала при округлении до сотых даст $3.35$.
Ответ: $x_2 \approx 3.35$.