Номер 500, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.8. Уравнения с параметром. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 500, страница 201.

500 Выясните, при каких значениях $a$ уравнение имеет два корня:

a) $ax^2 - (a + 1)x + 1 = 0;$

б) $ax^2 - (a^2 + 4)x + 4a = 0.$

Чтобы уравнение имело два различных корня (что обычно и подразумевается под "два корня"), необходимо выполнение двух условий:

1. Уравнение должно быть квадратным, то есть коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю.
2. Дискриминант $D$ квадратного уравнения должен быть строго больше нуля ($D > 0$).

а) $ax^2 - (a + 1)x + 1 = 0$

1. Сначала рассмотрим случай, когда уравнение является квадратным. Это происходит при $a \neq 0$.

Найдем дискриминант $D$ данного уравнения. Здесь коэффициенты: $A=a$, $B=-(a+1)$, $C=1$.

$D = B^2 - 4AC = (-(a+1))^2 - 4 \cdot a \cdot 1 = (a+1)^2 - 4a$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$D = a^2 + 2a + 1 - 4a = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$

Для того чтобы уравнение имело два различных корня, дискриминант должен быть строго положительным:

$D > 0 \implies (a-1)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа, отличного от нуля, положителен. Следовательно, неравенство выполняется для всех значений $a$, кроме того, при котором основание степени равно нулю.

$a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1$

Итак, для того чтобы уравнение было квадратным и имело два различных корня, должны выполняться условия: $a \neq 0$ и $a \neq 1$.

2. Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a=0$. В этом случае уравнение перестает быть квадратным и становится линейным.

Подставим $a=0$ в исходное уравнение:

$0 \cdot x^2 - (0+1)x + 1 = 0$

$-x + 1 = 0$

$x = 1$

При $a=0$ уравнение имеет только один корень, что не удовлетворяет условию задачи.

Объединяя все условия, получаем, что уравнение имеет два корня при $a \neq 0$ и $a \neq 1$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

б) $ax^2 - (a^2 + 4)x + 4a = 0$

1. Рассмотрим случай, когда уравнение является квадратным, то есть $a \neq 0$.

Найдем дискриминант $D$. Коэффициенты: $A=a$, $B=-(a^2+4)$, $C=4a$.

$D = B^2 - 4AC = (-(a^2+4))^2 - 4 \cdot a \cdot (4a) = (a^2+4)^2 - 16a^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$D = (a^4 + 8a^2 + 16) - 16a^2 = a^4 - 8a^2 + 16 = (a^2-4)^2$

Условие наличия двух различных корней — $D > 0$.

$(a^2-4)^2 > 0$

Это неравенство выполняется, когда выражение в скобках не равно нулю:

$a^2 - 4 \neq 0$

$a^2 \neq 4$

Это означает, что $a \neq 2$ и $a \neq -2$.

Таким образом, для квадратного уравнения два различных корня существуют при $a \neq 0$, $a \neq 2$ и $a \neq -2$.

2. Рассмотрим случай, когда $a=0$.

Подставим $a=0$ в исходное уравнение:

$0 \cdot x^2 - (0^2+4)x + 4 \cdot 0 = 0$

$-4x = 0$

$x = 0$

При $a=0$ уравнение имеет только один корень, что не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, объединяя все условия, получаем, что исходное уравнение имеет два корня при $a \neq 0$, $a \neq -2$ и $a \neq 2$.

Ответ: $a \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.