Номер 504, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.8. Уравнения с параметром. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 504, страница 201.

504 Дана система уравнений с переменными $x$ и $y$:

$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 1 \\y = |x| + a.\end{cases}$$

а) С помощью графиков установите, сколько решений может иметь система уравнений.

б) Найдите значения $a$, при которых система имеет два решения; три решения.

a) Для решения задачи графическим методом построим графики обоих уравнений в одной системе координат.

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 1$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом, равным 1.

Второе уравнение, $y = |x| + a$, задает семейство графиков, получаемых из графика функции $y = |x|$ сдвигом вдоль оси $Oy$ на $a$ единиц. График функции $y = |x|$ представляет собой "уголок", состоящий из двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. Вершина этого уголка находится в точке $(0, a)$.

Количество решений системы уравнений равно количеству точек пересечения окружности и графика $y = |x| + a$. Проанализируем это количество в зависимости от значения параметра $a$, который определяет вертикальное положение "уголка".

1. При $a > 1$ вершина "уголка" $(0, a)$ находится выше верхней точки окружности $(0, 1)$. Весь график $y = |x| + a$ лежит выше окружности, поэтому общих точек нет. Система имеет 0 решений.
2. При $a = 1$ вершина "уголка" совпадает с верхней точкой окружности $(0, 1)$. Это единственная общая точка. Система имеет 1 решение.
3. При $-1 < a < 1$ вершина "уголка" $(0, a)$ находится внутри окружности. Каждый из двух лучей "уголка" пересекает окружность в одной точке. Система имеет 2 решения.
4. При $a = -1$ вершина "уголка" совпадает с нижней точкой окружности $(0, -1)$. Кроме этой точки, лучи $y = x - 1$ и $y = -x - 1$ пересекают окружность в точках $(1, 0)$ и $(-1, 0)$ соответственно. Всего 3 решения.
5. При $-\sqrt{2} < a < -1$ вершина "уголка" находится ниже окружности, но лучи пересекают окружность в двух точках каждый. Всего 4 решения.
6. При $a = -\sqrt{2}$ лучи "уголка" касаются окружности. Это предельный случай, когда две пары точек пересечения сливаются в две точки касания. Система имеет 2 решения.
7. При $a < -\sqrt{2}$ "уголок" целиком проходит ниже окружности, не имея с ней общих точек. Система имеет 0 решений.

Таким образом, в зависимости от значения параметра $a$, система может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 решения.

Ответ: Система может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 решения.

б) На основании графического анализа, проведенного в пункте а), найдем требуемые значения параметра $a$.

Система имеет два решения в двух случаях:

• Когда график $y = |x| + a$ касается окружности $x^2 + y^2 = 1$. Это происходит, когда расстояние от центра окружности $(0, 0)$ до прямых, из которых состоит график ($y=x+a$ и $y=-x+a$), равно радиусу 1. Рассмотрим прямую $x - y + a = 0$. Расстояние до нее от начала координат: $d = \frac{|1\cdot0 - 1\cdot0 + a|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|a|}{\sqrt{2}}$. Приравнивая радиусу, получаем $\frac{|a|}{\sqrt{2}} = 1$, откуда $|a|=\sqrt{2}$, то есть $a=\sqrt{2}$ или $a=-\sqrt{2}$. При $a=\sqrt{2}$ вершина $(0, \sqrt{2})$ находится выше окружности, пересечений нет. При $a=-\sqrt{2}$ вершина $(0, -\sqrt{2})$ находится ниже окружности, и лучи касаются ее. Этот случай дает два решения.
• Когда вершина "уголка" $(0, a)$ находится на оси $Oy$ строго между точками $(0, -1)$ и $(0, 1)$. Это соответствует неравенству $-1 < a < 1$. В этом диапазоне система имеет два решения.

Объединяя эти два случая, получаем, что система имеет два решения при $a = -\sqrt{2}$ и при $a \in (-1, 1)$.

Система имеет три решения только в одном случае:

• Когда вершина "уголка" $(0, a)$ совпадает с нижней точкой окружности $(0, -1)$. Это происходит при $a = -1$. Точки пересечения в этом случае: $(0, -1)$, а также точки пересечения лучей $y=x-1$ и $y=-x-1$ с окружностью, которыми являются $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Ответ: два решения при $a \in (-1, 1) \cup \{-\sqrt{2}\}$; три решения при $a=-1$.