Номер 503, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.8. Уравнения с параметром. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 503, страница 201.

503 С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь уравнение ($a$ — параметр):

a) $|x| = ax - 1$;

б) $|x| = ax + 2$.

Для решения задачи графическим методом необходимо построить графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, и найти количество их точек пересечения в зависимости от параметра $a$.

а) $|x| = ax - 1$

Рассмотрим две функции: $y = |x|$ и $y = ax - 1$. Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения их графиков.

График функции $y = |x|$ — это график модуля, состоящий из двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.

График функции $y = ax - 1$ — это семейство прямых, которые проходят через точку $(0, -1)$ (так как при $x=0$, $y=-1$ для любого значения $a$). Параметр $a$ является угловым коэффициентом (наклоном) прямой.

Проанализируем количество точек пересечения, мысленно вращая прямую $y = ax - 1$ вокруг точки $(0, -1)$ и изменяя её наклон $a$.

1. Рассмотрим случаи, когда прямая параллельна одной из ветвей графика $y=|x|$. Ветви имеют угловые коэффициенты $1$ и $-1$.
   • При $a=1$ прямая $y = x - 1$ параллельна лучу $y = x$. Она лежит ниже этого луча и не пересекает его. Луч $y = -x$ она также не пересекает. Таким образом, точек пересечения нет (0 корней).
   • При $a=-1$ прямая $y = -x - 1$ параллельна лучу $y = -x$. Аналогично, она не имеет точек пересечения с графиком $y=|x|$. Точек пересечения нет (0 корней).
2. Если угловой коэффициент $a$ находится в промежутке $(-1, 1)$, прямая $y = ax - 1$ будет проходить "под" графиком $y=|x|$ и не пересечет его. Например, при $a=0$ прямая $y = -1$ очевидно не имеет общих точек с $y=|x|$, так как $|x| \ge 0$. В этом случае точек пересечения нет (0 корней).
3. Если $a > 1$, наклон прямой становится больше, чем у луча $y=x$. Прямая пересечет этот луч в одной точке при $x>0$. Алгебраически: $x = ax-1 \implies (a-1)x = 1 \implies x = \frac{1}{a-1}$. Так как $a>1$, то $x>0$, корень существует. С лучом $y=-x$ пересечения не будет. Таким образом, будет одна точка пересечения (1 корень).
4. Если $a < -1$, прямая пересечет луч $y=-x$ в одной точке при $x<0$. Алгебраически: $-x = ax-1 \implies (a+1)x = 1 \implies x = \frac{1}{a+1}$. Так как $a<-1$, то $x<0$, корень существует. С лучом $y=x$ пересечения не будет. Таким образом, будет одна точка пересечения (1 корень).

Итак, при $a \in [-1, 1]$ уравнение не имеет корней. При $a \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ уравнение имеет один корень.

Ответ: уравнение может иметь 0 или 1 корень.

б) $|x| = ax + 2$

Рассмотрим графики функций $y = |x|$ и $y = ax + 2$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения этих графиков.

График $y = |x|$ нам уже известен.

График $y = ax + 2$ — это семейство прямых, проходящих через точку $(0, 2)$ с угловым коэффициентом $a$. Эта точка находится "внутри" графика $y=|x|$, выше его вершины.

Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от параметра $a$.

1. Если угловой коэффициент $a$ находится в промежутке $(-1, 1)$, то есть $-1 < a < 1$, прямая $y = ax + 2$ будет пересекать обе ветви графика $y=|x|$.
   • Пересечение с правой ветвью $y=x$ ($x \ge 0$): $x = ax+2 \implies (1-a)x = 2 \implies x = \frac{2}{1-a}$. Так как $a<1$, то $1-a>0$, и корень $x>0$ существует.
   • Пересечение с левой ветвью $y=-x$ ($x < 0$): $-x = ax+2 \implies -(a+1)x = 2 \implies x = \frac{-2}{a+1}$. Так как $a>-1$, то $a+1>0$, и корень $x<0$ существует.
   В этом случае уравнение имеет две точки пересечения (2 корня).
2. Рассмотрим граничные случаи, когда прямая параллельна одной из ветвей.
   • При $a=1$ прямая $y = x + 2$ параллельна лучу $y=x$ и не пересекает его. Но она пересекает луч $y=-x$ в точке, где $-x = x+2$, что дает $x=-1$. Таким образом, уравнение имеет одну точку пересечения (1 корень).
   • При $a=-1$ прямая $y = -x + 2$ параллельна лучу $y=-x$ и не пересекает его. Но она пересекает луч $y=x$ в точке, где $x = -x+2$, что дает $x=1$. Уравнение также имеет одну точку пересечения (1 корень).
3. Если $a > 1$, наклон прямой больше, чем у $y=x$. Прямая пересекает только левую ветвь $y=-x$ (корень $x = \frac{-2}{a+1}$ будет отрицательным, так как $a+1 > 0$). С правой ветвью пересечения нет. Уравнение имеет одну точку пересечения (1 корень).
4. Если $a < -1$, прямая пересекает только правую ветвь $y=x$ (корень $x = \frac{2}{1-a}$ будет положительным, так как $1-a > 0$). С левой ветвью пересечения нет. Уравнение имеет одну точку пересечения (1 корень).

Итак, при $a \in (-1, 1)$ уравнение имеет два корня. При $a \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ уравнение имеет один корень.

Ответ: уравнение может иметь 1 или 2 корня.