Номер 499, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.8. Уравнения с параметром. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 499, страница 201.

499 Решите уравнение с переменной x:

a) $(m - 1)x = m^2 - 1;$

б) $(c - 2)x = c + 2;$

в) $(2 - a)x = a^2 - 4;$

г) $(b^2 - 1)x = b + 1.$

Для решения данных уравнений с параметром необходимо рассмотреть случаи, когда коэффициент при переменной $x$ равен нулю и когда не равен нулю.

а)

Дано уравнение $(m - 1)x = m^2 - 1$.

1. Если коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $m - 1 \neq 0 \implies m \neq 1$, то можно найти $x$ делением обеих частей уравнения на $(m - 1)$:
$x = \frac{m^2 - 1}{m - 1}$
Используя формулу разности квадратов, разложим числитель:
$x = \frac{(m - 1)(m + 1)}{m - 1}$
Сократив дробь, получаем:
$x = m + 1$.

2. Если коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $m - 1 = 0 \implies m = 1$, подставим это значение в исходное уравнение:
$(1-1)x = 1^2 - 1$
$0 \cdot x = 0$
Это равенство верно при любом значении $x$.

Ответ: если $m \neq 1$, то $x = m + 1$; если $m = 1$, то $x$ - любое число.

б)

Дано уравнение $(c - 2)x = c + 2$.

1. Если $c - 2 \neq 0 \implies c \neq 2$, то решение уравнения находится делением:
$x = \frac{c + 2}{c - 2}$.

2. Если $c - 2 = 0 \implies c = 2$, то уравнение принимает вид:
$(2-2)x = 2+2$
$0 \cdot x = 4$
Это равенство ложно, так как $0 \neq 4$. Следовательно, уравнение не имеет решений (корней).

Ответ: если $c \neq 2$, то $x = \frac{c + 2}{c - 2}$; если $c = 2$, то корней нет.

в)

Дано уравнение $(2 - a)x = a^2 - 4$.

1. Если $2 - a \neq 0 \implies a \neq 2$, то:
$x = \frac{a^2 - 4}{2 - a}$
Разложим числитель по формуле разности квадратов и вынесем минус в знаменателе:
$x = \frac{(a - 2)(a + 2)}{-(a - 2)}$
Сократив дробь на $(a-2)$, получим:
$x = -(a + 2) = -a - 2$.

2. Если $2 - a = 0 \implies a = 2$, то уравнение принимает вид:
$(2-2)x = 2^2-4$
$0 \cdot x = 0$
Это равенство верно при любом значении $x$.

Ответ: если $a \neq 2$, то $x = -a - 2$; если $a = 2$, то $x$ - любое число.

г)

Дано уравнение $(b^2 - 1)x = b + 1$.

Коэффициент при $x$ равен $b^2 - 1 = (b - 1)(b + 1)$. Он обращается в ноль при $b = 1$ и $b = -1$. Рассмотрим три случая.

1. Если $b^2 - 1 \neq 0$, то есть $b \neq 1$ и $b \neq -1$, то:
$x = \frac{b + 1}{b^2 - 1} = \frac{b + 1}{(b - 1)(b + 1)}$
Сократив дробь на $(b+1)$, получаем:
$x = \frac{1}{b - 1}$.

2. Если $b = 1$, уравнение принимает вид:
$(1^2 - 1)x = 1 + 1$
$0 \cdot x = 2$
Это равенство ложно, уравнение не имеет решений.

3. Если $b = -1$, уравнение принимает вид:
$((-1)^2 - 1)x = -1 + 1$
$0 \cdot x = 0$
Это равенство верно при любом значении $x$.

Ответ: если $b \neq 1$ и $b \neq -1$, то $x = \frac{1}{b - 1}$; если $b = 1$, то корней нет; если $b = -1$, то $x$ - любое число.