Номер 491, страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Графическое исследование уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 491, страница 195.

491 С помощью графиков определите, имеет ли уравнение корни, и если имеет, то сколько. Укажите знаки корней:

а) $x^3 = \frac{6}{x}$;

б) $x^3 = -\frac{1}{x}$;

в) $\sqrt{x} = \frac{1}{x}$;

г) $\sqrt{x} = 1 - x^2$.

а) $x^3 = \frac{6}{x}$

Для решения данного уравнения графическим методом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^3$ и $y = \frac{6}{x}$.

График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, расположенная в I и III координатных четвертях. Она проходит через начало координат и является возрастающей на всей области определения.

График функции $y = \frac{6}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $k=6 > 0$. Асимптотами являются оси координат.

В I четверти ($x>0$) обе функции положительны. График $y = x^3$ возрастает от 0, а график $y = \frac{6}{x}$ убывает от $+\infty$. Следовательно, они пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки — положительный корень уравнения.

В III четверти ($x<0$) обе функции отрицательны. График $y = x^3$ возрастает от $-\infty$ до 0, а график $y = \frac{6}{x}$ приближается к оси Y слева, уходя в $-\infty$. Они также пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки — отрицательный корень уравнения.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: уравнение имеет два корня: один положительный и один отрицательный.

б) $x^3 = -\frac{1}{x}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = -\frac{1}{x}$.

График функции $y = x^3$ — кубическая парабола, расположенная в I и III координатных четвертях.

График функции $y = -\frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях, так как коэффициент $k=-1 < 0$.

Рассмотрим знаки функций:

При $x > 0$ функция $y = x^3$ принимает положительные значения (график в I четверти), а функция $y = -\frac{1}{x}$ принимает отрицательные значения (график в IV четверти).

При $x < 0$ функция $y = x^3$ принимает отрицательные значения (график в III четверти), а функция $y = -\frac{1}{x}$ принимает положительные значения (график во II четверти).

Поскольку на всей области определения ($x \neq 0$) левая и правая части уравнения имеют разные знаки, графики функций не пересекаются.

Ответ: уравнение не имеет корней.

в) $\sqrt{x} = \frac{1}{x}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{1}{x}$.

Область определения обеих частей уравнения — $x > 0$. Следовательно, нас интересуют только графики в I координатной четверти.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и монотонно возрастающая.

График функции $y = \frac{1}{x}$ для $x > 0$ — это ветвь гиперболы, расположенная в I четверти. Она является монотонно убывающей.

Возрастающая функция $y=\sqrt{x}$ и убывающая функция $y=\frac{1}{x}$ на промежутке $(0, +\infty)$ могут пересечься не более одного раза. При $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$ и $y=\frac{1}{1}=1$. Значит, графики пересекаются в точке $(1, 1)$.

Абсцисса точки пересечения — это корень уравнения, он равен 1 и является положительным числом.

Ответ: уравнение имеет один положительный корень.

г) $\sqrt{x} = 1 - x^2$

Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 1 - x^2$.

Область определения уравнения задается условием $x \ge 0$. Также, поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то и правая часть должна быть неотрицательной: $1-x^2 \ge 0$, что равносильно $x^2 \le 1$, и с учетом $x \ge 0$ получаем $0 \le x \le 1$. Таким образом, корень (если он существует) должен лежать на отрезке $[0, 1]$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат.

График функции $y = 1 - x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 1)$, ветви которой направлены вниз.

Рассмотрим поведение функций на отрезке $[0, 1]$:

Функция $y = \sqrt{x}$ возрастает от $\sqrt{0}=0$ до $\sqrt{1}=1$.

Функция $y = 1 - x^2$ убывает от $1-0^2=1$ до $1-1^2=0$.

Так как на отрезке $[0, 1]$ одна функция непрерывно возрастает от 0 до 1, а вторая непрерывно убывает от 1 до 0, их графики обязательно пересекутся в одной точке внутри интервала $(0, 1)$.

Абсцисса этой точки пересечения и будет являться корнем уравнения. Этот корень единственный и положительный.

Ответ: уравнение имеет один положительный корень.