Номер 486, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 486, страница 191.

486 Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если площадь его поверхности равна $148 \text{ см}^2$, а высота на 1 см меньше длины и на 2 см меньше ширины.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: $a$ – длина, $b$ – ширина, $c$ – высота.

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
$S = 2(ab + ac + bc)$

Согласно условию задачи, площадь поверхности равна $148 \text{ см}^2$. Следовательно:
$2(ab + ac + bc) = 148$

Также из условия известно, что высота на 1 см меньше длины и на 2 см меньше ширины. Выразим длину и ширину через высоту $c$:
Высота на 1 см меньше длины: $c = a - 1 \implies a = c + 1$
Высота на 2 см меньше ширины: $c = b - 2 \implies b = c + 2$

Теперь подставим выражения для $a$ и $b$ в формулу площади поверхности, чтобы получить уравнение с одной неизвестной $c$:
$2((c+1)(c+2) + (c+1)c + (c+2)c) = 148$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
$(c+1)(c+2) + c(c+1) + c(c+2) = 74$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$(c^2 + 2c + c + 2) + (c^2 + c) + (c^2 + 2c) = 74$

Приведем подобные слагаемые:
$(c^2 + c^2 + c^2) + (2c + c + c + 2c) + 2 = 74$
$3c^2 + 6c + 2 = 74$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$3c^2 + 6c + 2 - 74 = 0$
$3c^2 + 6c - 72 = 0$

Разделим все коэффициенты уравнения на 3:
$c^2 + 2c - 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-24$, а их сумма равна $-2$. Этим условиям удовлетворяют числа 4 и -6.
Таким образом, корни уравнения: $c_1 = 4$ и $c_2 = -6$.

Так как высота параллелепипеда (как и любое его измерение) не может быть отрицательной величиной, корень $c_2 = -6$ не является решением задачи. Следовательно, высота параллелепипеда равна $4$ см.

Теперь, зная высоту, найдем остальные измерения:
Длина: $a = c + 1 = 4 + 1 = 5$ см
Ширина: $b = c + 2 = 4 + 2 = 6$ см

Проверим правильность найденных измерений, подставив их в формулу площади поверхности:
$S = 2(5 \cdot 6 + 5 \cdot 4 + 6 \cdot 4) = 2(30 + 20 + 24) = 2 \cdot 74 = 148 \text{ см}^2$.
Полученное значение совпадает с условием задачи, следовательно, измерения найдены верно.

Ответ: измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4 см, 5 см и 6 см.