Номер 483, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 483, страница 191.

483 Два катера вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов $A$ и $B$, расстояние между которыми 150 км. Через 1 ч 30 мин катера встретились и, не останавливаясь, продолжили путь с той же скоростью. Первый катер прибыл в пункт $B$ на 1 ч 15 мин позже, чем второй в пункт $A$. Сколько времени был в пути каждый катер?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние между пунктами A и B, равное 150 км.
• $v_1$ – скорость первого катера, который вышел из пункта А в пункт В.
• $v_2$ – скорость второго катера, который вышел из пункта В в пункт А.
• $t_{встр}$ – время, через которое катера встретились. По условию, $t_{встр} = 1$ ч 30 мин $= 1,5$ часа.
• $T_1$ и $T_2$ – общее время в пути первого и второго катеров соответственно.

Катера движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей $v_1 + v_2$. До момента встречи они суммарно проходят все расстояние $S$. Используя формулу пути $S = v \cdot t$, получаем:

$S = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$

$150 = (v_1 + v_2) \cdot 1,5$

Отсюда можно найти сумму скоростей катеров:

$v_1 + v_2 = \frac{150}{1,5} = 100$ км/ч.

Общее время, которое каждый катер затратил на весь путь, вычисляется по формуле $T = \frac{S}{v}$:

$T_1 = \frac{150}{v_1}$

$T_2 = \frac{150}{v_2}$

По условию задачи, первый катер прибыл в пункт В на 1 ч 15 мин позже, чем второй в пункт А. Переведем это время в часы: $1$ ч 15 мин $= 1 + \frac{15}{60}$ ч $= 1 + \frac{1}{4}$ ч $= 1,25$ часа. Таким образом, разница во времени составляет:

$T_1 - T_2 = 1,25$

Подставим выражения для $T_1$ и $T_2$ в это уравнение:

$\frac{150}{v_1} - \frac{150}{v_2} = 1,25$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 100 \\ \frac{150}{v_1} - \frac{150}{v_2} = 1,25 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_2 = 100 - v_1$ и подставим во второе уравнение:

$\frac{150}{v_1} - \frac{150}{100 - v_1} = 1,25$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$150 \left( \frac{100 - v_1 - v_1}{v_1(100 - v_1)} \right) = 1,25$

$150 \cdot \frac{100 - 2v_1}{100v_1 - v_1^2} = 1,25$

Используя основное свойство пропорции, получаем:

$150(100 - 2v_1) = 1,25(100v_1 - v_1^2)$

$15000 - 300v_1 = 125v_1 - 1,25v_1^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$1,25v_1^2 - 425v_1 + 15000 = 0$

Для удобства вычислений умножим уравнение на 4:

$5v_1^2 - 1700v_1 + 60000 = 0$

Теперь разделим уравнение на 5:

$v_1^2 - 340v_1 + 12000 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-340)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12000 = 115600 - 48000 = 67600$

$\sqrt{D} = \sqrt{67600} = 260$

Найдем два возможных значения для $v_1$:

$v_{1,1} = \frac{-(-340) + 260}{2 \cdot 1} = \frac{340 + 260}{2} = \frac{600}{2} = 300$ км/ч.

$v_{1,2} = \frac{-(-340) - 260}{2 \cdot 1} = \frac{340 - 260}{2} = \frac{80}{2} = 40$ км/ч.

Проверим оба варианта. Если $v_1 = 300$ км/ч, то $v_2 = 100 - 300 = -200$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, поэтому это решение не имеет физического смысла.

Если $v_1 = 40$ км/ч, то $v_2 = 100 - 40 = 60$ км/ч. Оба значения скорости положительны, поэтому это решение является верным.

Итак, скорость первого катера $v_1 = 40$ км/ч, а скорость второго катера $v_2 = 60$ км/ч.

Теперь найдем, сколько времени был в пути каждый катер:

Время в пути первого катера: $T_1 = \frac{150}{v_1} = \frac{150}{40} = 3,75$ часа.
Переведем в часы и минуты: $3,75$ ч $= 3$ часа и $0,75 \cdot 60 = 45$ минут. То есть 3 часа 45 минут.

Время в пути второго катера: $T_2 = \frac{150}{v_2} = \frac{150}{60} = 2,5$ часа.
Переведем в часы и минуты: $2,5$ ч $= 2$ часа и $0,5 \cdot 60 = 30$ минут. То есть 2 часа 30 минут.

Ответ: первый катер был в пути 3 часа 45 минут, второй катер — 2 часа 30 минут.