Номер 476, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 476, страница 190.

476. Можно ли в круг радиуса $12,5$ см вписать прямоугольник, площадь которого $168$ см$^2$?

Для того чтобы прямоугольник можно было вписать в круг, его вершины должны лежать на окружности. В этом случае диагональ прямоугольника будет являться диаметром круга.

Дан радиус круга $R = 12,5$ см. Найдем его диаметр $d$:
$d = 2R = 2 \times 12,5 = 25$ см.

Пусть стороны искомого прямоугольника равны $a$ и $b$. Его площадь $S$ по условию равна 168 см².
$S = a \cdot b = 168$.

С другой стороны, по теореме Пифагора, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон:
$d^2 = a^2 + b^2$.
Подставив значение $d=25$ см, получим:
$25^2 = a^2 + b^2$
$625 = a^2 + b^2$.

Таким образом, задача сводится к вопросу, существуют ли положительные числа $a$ и $b$, удовлетворяющие системе уравнений:
$ \begin{cases} ab = 168 \\ a^2 + b^2 = 625 \end{cases} $

Чтобы определить, имеет ли система решения, можно воспользоваться следующим тождеством: $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.
Подставим известные значения из нашей системы:
$(a+b)^2 = 625 + 2 \cdot 168 = 625 + 336 = 961$.
Поскольку $a$ и $b$ - это длины сторон, они положительны, поэтому их сумма также положительна. Извлекая квадратный корень, получаем:
$a+b = \sqrt{961} = 31$.

Теперь мы имеем более простую систему:
$ \begin{cases} a+b = 31 \\ ab = 168 \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 31t + 168 = 0$.
Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:
$D = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 168 = 961 - 672 = 289$.
Так как $D = 289 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что действительные значения для сторон $a$ и $b$ существуют.
Найдем эти корни:
$t_1 = \frac{31 - \sqrt{289}}{2} = \frac{31 - 17}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
$t_2 = \frac{31 + \sqrt{289}}{2} = \frac{31 + 17}{2} = \frac{48}{2} = 24$.

Таким образом, существует прямоугольник со сторонами 7 см и 24 см, который удовлетворяет всем условиям задачи. Его площадь равна $7 \cdot 24 = 168$ см², а диагональ равна $\sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ см, что соответствует диаметру данного круга.

Ответ: да, можно.