Страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

473 В аудитории расставили одинаковыми рядами 84 стула. Затем добавили 36 стульев и при этом сделали перестановку: в каждом ряду уменьшили число стульев на 2, но увеличили число рядов на 4. Сколько рядов и сколько стульев в каждом ряду было в аудитории первоначально?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $r$ — первоначальное количество рядов, а $c$ — первоначальное количество стульев в каждом ряду.

По условию, изначально в аудитории было 84 стула. Это можно выразить первым уравнением:

$r \cdot c = 84$

Затем добавили 36 стульев, и общее количество стульев стало $84 + 36 = 120$. При этом количество рядов увеличили на 4 (стало $r + 4$), а количество стульев в каждом ряду уменьшили на 2 (стало $c - 2$). Это можно выразить вторым уравнением:

$(r + 4)(c - 2) = 120$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} r \cdot c = 84 \\ (r + 4)(c - 2) = 120 \end{cases}$

Выразим $c$ из первого уравнения:

$c = \frac{84}{r}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(r + 4)(\frac{84}{r} - 2) = 120$

Раскроем скобки:

$r \cdot \frac{84}{r} - 2r + 4 \cdot \frac{84}{r} - 4 \cdot 2 = 120$

$84 - 2r + \frac{336}{r} - 8 = 120$

Приведем подобные слагаемые:

$76 - 2r + \frac{336}{r} = 120$

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю $r$ (так как $r \neq 0$):

$-2r + \frac{336}{r} = 44$

$-2r^2 + 336 = 44r$

$-2r^2 - 44r + 336 = 0$

Разделим уравнение на -2, чтобы упростить его:

$r^2 + 22r - 168 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 22^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 484 + 672 = 1156$

$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$

Найдем корни уравнения:

$r_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-22 + 34}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$r_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-22 - 34}{2} = \frac{-56}{2} = -28$

Так как количество рядов не может быть отрицательным, нам подходит только корень $r = 6$.

Теперь найдем первоначальное количество стульев в ряду $c$:

$c = \frac{84}{r} = \frac{84}{6} = 14$

Проверим решение. Изначально: 6 рядов по 14 стульев = 84 стула. После изменений: $6+4=10$ рядов, $14-2=12$ стульев в ряду. Итого $10 \cdot 12 = 120$ стульев. $84 + 36 = 120$. Все верно.

Ответ: первоначально в аудитории было 6 рядов и 14 стульев в каждом ряду.

474 Спортивная площадка прямоугольной формы занимает площадь, равную 600 м². Когда вокруг неё проложили дорожку шириной в 1 м, то площадка вместе с дорожкой стала занимать площадь 704 м². Найдите размеры площадки.

Пусть длина спортивной площадки равна $l$ метров, а ширина – $w$ метров. Площадь прямоугольной площадки вычисляется по формуле $S = l \cdot w$.

По условию задачи, площадь спортивной площадки равна 600 м². Таким образом, мы имеем первое уравнение:

$l \cdot w = 600$

Вокруг площадки проложили дорожку шириной в 1 м. Это означает, что и длина, и ширина общего участка (площадка вместе с дорожкой) увеличились на $1 \text{ м} + 1 \text{ м} = 2$ метра с каждой стороны.

Новая длина стала $(l + 2)$ м, а новая ширина – $(w + 2)$ м. Площадь этого нового, большего прямоугольника составляет 704 м². Это дает нам второе уравнение:

$(l + 2)(w + 2) = 704$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} l \cdot w = 600 \\ (l + 2)(w + 2) = 704 \end{cases}$

Раскроем скобки во втором уравнении:

$l \cdot w + 2l + 2w + 4 = 704$

Подставим значение $l \cdot w = 600$ из первого уравнения в преобразованное второе:

$600 + 2l + 2w + 4 = 704$

Упростим полученное уравнение:

$2l + 2w + 604 = 704$

$2l + 2w = 704 - 604$

$2(l + w) = 100$

$l + w = 50$

Теперь мы можем составить более простую систему уравнений, которая эквивалентна исходной:

$\begin{cases} l + w = 50 \\ l \cdot w = 600 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $l$ через $w$ (или наоборот): $l = 50 - w$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(50 - w) \cdot w = 600$

$50w - w^2 = 600$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$w^2 - 50w + 600 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: нам нужны два числа, сумма которых равна 50, а произведение – 600. Легко подобрать, что это числа 20 и 30. Также можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 2500 - 2400 = 100$

$w_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{50 \pm 10}{2}$

Получаем два корня:

$w_1 = \frac{50 + 10}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$w_2 = \frac{50 - 10}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Мы получили два возможных значения для одной из сторон прямоугольника (ширины). Найдем соответствующие значения для второй стороны (длины):

Если $w = 30$ м, то $l = 50 - 30 = 20$ м.

Если $w = 20$ м, то $l = 50 - 20 = 30$ м.

В обоих случаях мы получаем, что стороны площадки равны 20 м и 30 м.

Проверим результат:
1. Площадь площадки: $20 \text{ м} \cdot 30 \text{ м} = 600 \text{ м}^2$. (Верно)
2. Размеры площадки с дорожкой: $(20+2) \text{ м} \times (30+2) \text{ м} = 22 \text{ м} \times 32 \text{ м} = 704 \text{ м}^2$. (Верно)

Ответ: размеры площадки 20 м и 30 м.

475 Площадь прямоугольного треугольника равна 30 $см^2$, а его гипотенуза равна 13 см. Найдите катеты треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

Согласно условию задачи, нам известно:
Площадь $S = 30$ см$^2$.
Гипотенуза $c = 13$ см.

Для нахождения катетов воспользуемся двумя ключевыми формулами для прямоугольного треугольника:
1. Формула площади: $S = \frac{1}{2}ab$.
2. Теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим известные значения в эти формулы, чтобы составить систему уравнений.

Из формулы площади получаем первое уравнение:
$30 = \frac{1}{2}ab$
Умножим обе части уравнения на 2:
$ab = 60$

Из теоремы Пифагора получаем второе уравнение:
$a^2 + b^2 = 13^2$
$a^2 + b^2 = 169$

Таким образом, мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} ab = 60 \\ a^2 + b^2 = 169 \end{cases} $

Для решения этой системы можно использовать следующий прием. Возведем в квадрат сумму $(a+b)$:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2+b^2) + 2(ab)$
Теперь подставим в это выражение известные нам значения $a^2+b^2 = 169$ и $ab = 60$:
$(a+b)^2 = 169 + 2 \cdot 60 = 169 + 120 = 289$
Так как длины катетов являются положительными числами, их сумма также положительна. Поэтому:
$a+b = \sqrt{289} = 17$

Теперь мы имеем новую, более простую систему уравнений:
$ \begin{cases} a+b = 17 \\ ab = 60 \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 17t + 60 = 0$.
Решим это уравнение. Найдем дискриминант:
$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49$
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{17 - \sqrt{49}}{2} = \frac{17 - 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$t_2 = \frac{17 + \sqrt{49}}{2} = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Следовательно, катеты треугольника равны 5 см и 12 см.

Ответ: 5 см и 12 см.

476. Можно ли в круг радиуса $12,5$ см вписать прямоугольник, площадь которого $168$ см$^2$?

Для того чтобы прямоугольник можно было вписать в круг, его вершины должны лежать на окружности. В этом случае диагональ прямоугольника будет являться диаметром круга.

Дан радиус круга $R = 12,5$ см. Найдем его диаметр $d$:
$d = 2R = 2 \times 12,5 = 25$ см.

Пусть стороны искомого прямоугольника равны $a$ и $b$. Его площадь $S$ по условию равна 168 см².
$S = a \cdot b = 168$.

С другой стороны, по теореме Пифагора, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон:
$d^2 = a^2 + b^2$.
Подставив значение $d=25$ см, получим:
$25^2 = a^2 + b^2$
$625 = a^2 + b^2$.

Таким образом, задача сводится к вопросу, существуют ли положительные числа $a$ и $b$, удовлетворяющие системе уравнений:
$ \begin{cases} ab = 168 \\ a^2 + b^2 = 625 \end{cases} $

Чтобы определить, имеет ли система решения, можно воспользоваться следующим тождеством: $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.
Подставим известные значения из нашей системы:
$(a+b)^2 = 625 + 2 \cdot 168 = 625 + 336 = 961$.
Поскольку $a$ и $b$ - это длины сторон, они положительны, поэтому их сумма также положительна. Извлекая квадратный корень, получаем:
$a+b = \sqrt{961} = 31$.

Теперь мы имеем более простую систему:
$ \begin{cases} a+b = 31 \\ ab = 168 \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 31t + 168 = 0$.
Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:
$D = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 168 = 961 - 672 = 289$.
Так как $D = 289 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что действительные значения для сторон $a$ и $b$ существуют.
Найдем эти корни:
$t_1 = \frac{31 - \sqrt{289}}{2} = \frac{31 - 17}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
$t_2 = \frac{31 + \sqrt{289}}{2} = \frac{31 + 17}{2} = \frac{48}{2} = 24$.

Таким образом, существует прямоугольник со сторонами 7 см и 24 см, который удовлетворяет всем условиям задачи. Его площадь равна $7 \cdot 24 = 168$ см², а диагональ равна $\sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ см, что соответствует диаметру данного круга.

Ответ: да, можно.

477 Решите задачу 437 из пункта 3.4, составив систему уравнений.

Для решения задачи 437 составим систему уравнений. Обозначим скорость первого туриста как $v_1$ (в км/ч), а скорость второго туриста как $v_2$ (в км/ч).

Условия задачи:

• Расстояние между пунктами A и B: $S = 28$ км.
• Туристы вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 2 часа 30 минут. Переведем время встречи в часы: $t_{встр} = 2.5$ ч.
• Первому туристу на весь путь требуется на 1 час 20 минут меньше, чем второму. Переведем разницу во времени в часы: $\Delta t = 1 \frac{20}{60} = 1 \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ ч.

Составление системы уравнений:

1. Когда туристы движутся навстречу друг другу, их общая скорость (скорость сближения) равна $v_1 + v_2$. За время $t_{встр}$ они вместе проходят все расстояние $S$.
$S = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$
$28 = (v_1 + v_2) \cdot 2.5$
Отсюда $v_1 + v_2 = \frac{28}{2.5} = \frac{28}{5/2} = \frac{56}{5} = 11.2$.
Получаем первое уравнение: $v_1 + v_2 = 11.2$.

2. Время, которое требуется первому туристу на весь путь: $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{28}{v_1}$.
Время, которое требуется второму туристу на весь путь: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{28}{v_2}$.
По условию, первому туристу требуется времени меньше, значит $t_1 = t_2 - \Delta t$, или $t_2 - t_1 = \Delta t$.
$\frac{28}{v_2} - \frac{28}{v_1} = \frac{4}{3}$.
Это второе уравнение системы.

Система уравнений:

$$\begin{cases}v_1 + v_2 = 11.2 \\\frac{28}{v_2} - \frac{28}{v_1} = \frac{4}{3}\end{cases}$$

Решение системы:

Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = 11.2 - v_1$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{28}{11.2 - v_1} - \frac{28}{v_1} = \frac{4}{3}$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы упростить его:
$\frac{7}{11.2 - v_1} - \frac{7}{v_1} = \frac{1}{3}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v_1(11.2 - v_1)$:
$\frac{7v_1 - 7(11.2 - v_1)}{v_1(11.2 - v_1)} = \frac{1}{3}$
$\frac{7v_1 - 78.4 + 7v_1}{11.2v_1 - v_1^2} = \frac{1}{3}$
$\frac{14v_1 - 78.4}{11.2v_1 - v_1^2} = \frac{1}{3}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$3(14v_1 - 78.4) = 1(11.2v_1 - v_1^2)$
$42v_1 - 235.2 = 11.2v_1 - v_1^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные, чтобы получить квадратное уравнение:
$v_1^2 + 42v_1 - 11.2v_1 - 235.2 = 0$
$v_1^2 + 30.8v_1 - 235.2 = 0$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим уравнение на 10:
$10v_1^2 + 308v_1 - 2352 = 0$
Разделим все коэффициенты на 2:
$5v_1^2 + 154v_1 - 1176 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 154^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1176) = 23716 + 23520 = 47236$
Найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{-154 \pm \sqrt{47236}}{2 \cdot 5} = \frac{-154 \pm \sqrt{4 \cdot 11809}}{10} = \frac{-154 \pm 2\sqrt{11809}}{10} = \frac{-77 \pm \sqrt{11809}}{5}$

Так как скорость не может быть отрицательной, мы выбираем корень со знаком плюс. $\sqrt{11809} \approx \sqrt{12100} = 110$, поэтому $-77 + \sqrt{11809} > 0$.
$v_1 = \frac{-77 + \sqrt{11809}}{5}$ км/ч.

Теперь найдем скорость второго туриста:
$v_2 = 11.2 - v_1 = \frac{56}{5} - \frac{-77 + \sqrt{11809}}{5} = \frac{56 - (-77 + \sqrt{11809})}{5} = \frac{56 + 77 - \sqrt{11809}}{5} = \frac{133 - \sqrt{11809}}{5}$ км/ч.

Примечание: Полученные иррациональные ответы являются точным решением задачи с заданными числовыми значениями. Вероятно, в условии задачи в учебнике имеется опечатка, которая не позволяет получить "красивый" рациональный ответ.

Ответ: Скорость первого туриста равна $\frac{\sqrt{11809}-77}{5}$ км/ч, скорость второго туриста равна $\frac{133-\sqrt{11809}}{5}$ км/ч.

478 Два крана, открытые одновременно, могут наполнить водой детский бассейн за 20 мин. Если сначала на 25 мин открыть только первый кран, а затем его закрыть и открыть второй, то через 16 мин бассейн наполнится. За сколько минут может наполнить бассейн каждый кран в отдельности?

Для решения задачи примем весь объем работы (наполнение бассейна) за 1.

Пусть $x$ – время в минутах, за которое первый кран наполняет бассейн, работая в одиночку. Тогда его производительность (часть бассейна, наполняемая за 1 минуту) составляет $\frac{1}{x}$.

Пусть $y$ – время в минутах, за которое второй кран наполняет бассейн, работая в одиночку. Его производительность составляет $\frac{1}{y}$.

Когда оба крана открыты, их общая производительность равна сумме их производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$.

Из первого условия известно, что вместе они наполняют бассейн за 20 минут. Это можно выразить уравнением:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 20 = 1$

Разделив обе части на 20, получим первое уравнение системы:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20}$

Из второго условия известно, что первый кран работал 25 минут, а затем второй кран работал 16 минут. Объем работы, выполненный первым краном, равен $25 \cdot \frac{1}{x}$. Объем работы, выполненный вторым краном, равен $16 \cdot \frac{1}{y}$. Сумма их работы равна 1 (полный бассейн). Составим второе уравнение:

$\frac{25}{x} + \frac{16}{y} = 1$

Получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20} \\ \frac{25}{x} + \frac{16}{y} = 1 \end{cases}$

Для решения системы выразим $\frac{1}{y}$ из первого уравнения:

$\frac{1}{y} = \frac{1}{20} - \frac{1}{x}$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{25}{x} + 16 \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{x} \right) = 1$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$\frac{25}{x} + \frac{16}{20} - \frac{16}{x} = 1$

Упростим выражение:

$\frac{9}{x} + \frac{4}{5} = 1$

$\frac{9}{x} = 1 - \frac{4}{5}$

$\frac{9}{x} = \frac{1}{5}$

Отсюда находим $x$:

$x = 9 \cdot 5 = 45$

Таким образом, первый кран может наполнить бассейн за 45 минут.

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=45$ в выражение для $\frac{1}{y}$:

$\frac{1}{y} = \frac{1}{20} - \frac{1}{45}$

Приведем дроби к общему знаменателю 180:

$\frac{1}{y} = \frac{9}{180} - \frac{4}{180}$

$\frac{1}{y} = \frac{5}{180}$

$\frac{1}{y} = \frac{1}{36}$

Отсюда находим $y$:

$y = 36$

Следовательно, второй кран может наполнить бассейн за 36 минут.

Ответ: первый кран может наполнить бассейн за 45 минут, второй кран – за 36 минут.

479 Два ученика 9 класса вместе расчистили школьный каток за 20 мин. В следующий раз один из них расчистил $\frac{2}{3}$ площади катка, а после этого его сменил другой и закончил работу. При этом каток был расчищен за 40 мин. За какое время может расчистить каток каждый из школьников, работая отдельно?

Обозначения и уравнения

Пусть $t_1$ – время (в минутах), за которое первый ученик может расчистить каток в одиночку, а $t_2$ – время (в минутах), за которое второй ученик может расчистить каток в одиночку.Их производительность (скорость работы) равна $v_1 = \frac{1}{t_1}$ и $v_2 = \frac{1}{t_2}$ катка в минуту соответственно.

Из первого условия, что вместе они расчищают каток за 20 минут, следует уравнение их совместной производительности:$v_1 + v_2 = \frac{1}{20}$Подставляя выражения для производительности через время, получаем первое уравнение системы:$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{20}$

Из второго условия, один ученик расчистил $\frac{2}{3}$ катка, а другой – оставшуюся $\frac{1}{3}$. Вся работа заняла 40 минут.Пусть первый ученик расчистил $\frac{2}{3}$ катка. Время, которое он на это затратил, равно $\frac{\text{объем работы}}{\text{производительность}} = \frac{2/3}{1/t_1} = \frac{2}{3}t_1$.Второй ученик расчистил $\frac{1}{3}$ катка. Время, которое он на это затратил, равно $\frac{1/3}{1/t_2} = \frac{1}{3}t_2$.Суммарное время равно 40 минутам, отсюда получаем второе уравнение:$\frac{2}{3}t_1 + \frac{1}{3}t_2 = 40$

Решение системы уравнений

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{20}$
2) $\frac{2}{3}t_1 + \frac{1}{3}t_2 = 40$

Упростим второе уравнение, умножив его на 3:$2t_1 + t_2 = 120$Выразим $t_2$ через $t_1$:$t_2 = 120 - 2t_1$

Подставим это выражение в первое уравнение:$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{120 - 2t_1} = \frac{1}{20}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:$\frac{(120 - 2t_1) + t_1}{t_1(120 - 2t_1)} = \frac{1}{20}$
$\frac{120 - t_1}{120t_1 - 2t_1^2} = \frac{1}{20}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):$20(120 - t_1) = 120t_1 - 2t_1^2$
$2400 - 20t_1 = 120t_1 - 2t_1^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$2t_1^2 - 120t_1 - 20t_1 + 2400 = 0$
$2t_1^2 - 140t_1 + 2400 = 0$Разделим уравнение на 2 для упрощения:$t_1^2 - 70t_1 + 1200 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:$D = (-70)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1200 = 4900 - 4800 = 100$
Найдем корни уравнения:$t_{1,1} = \frac{70 + \sqrt{100}}{2} = \frac{70 + 10}{2} = \frac{80}{2} = 40$
$t_{1,2} = \frac{70 - \sqrt{100}}{2} = \frac{70 - 10}{2} = \frac{60}{2} = 30$

Получение и проверка решений

Мы получили два возможных значения для времени работы одного из учеников. Найдем соответствующие значения для второго ученика, используя формулу $t_2 = 120 - 2t_1$.

Случай 1: Если $t_1 = 30$ минут, то $t_2 = 120 - 2 \cdot 30 = 120 - 60 = 60$ минут. В этом случае одному ученику потребуется 30 минут, а другому — 60 минут.

Случай 2: Если $t_1 = 40$ минут, то $t_2 = 120 - 2 \cdot 40 = 120 - 80 = 40$ минут. В этом случае обоим ученикам потребуется по 40 минут.

Оба набора решений удовлетворяют условиям задачи. Если бы ученики поменялись местами во втором сценарии (второй расчистил бы $\frac{2}{3}$ катка, а первый — $\frac{1}{3}$), мы бы получили те же самые пары временных интервалов. Таким образом, задача имеет два возможных ответа.

Ответ: Существует два возможных варианта: один ученик может расчистить каток за 30 минут, а другой за 60 минут, либо оба ученика могут расчистить каток за 40 минут каждый.