Страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

490 ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение, и найдите эти корни:

a) $x^2 = 1,5x + 1;$

б) $x^3 + x - 2 = 0;$

в) $x^2 + \frac{8}{x} - 1 = 0.$

a) $x^2 = 1,5x + 1$

Для решения уравнения графическим методом представим его в виде равенства двух функций и построим в одной системе координат графики $y = x^2$ и $y = 1,5x + 1$.

График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх.

График функции $y = 1,5x + 1$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек, например, $(0, 1)$ и $(2, 4)$.

Корнями исходного уравнения являются абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих двух графиков. Построив графики, видим, что они пересекаются в двух точках.

Проверкой убеждаемся, что точки пересечения имеют координаты $(2, 4)$ и $(-0,5; 0,25)$:
Для $x=2$: $y = 2^2 = 4$ и $y = 1,5 \cdot 2 + 1 = 4$.
Для $x=-0,5$: $y = (-0,5)^2 = 0,25$ и $y = 1,5 \cdot (-0,5) + 1 = 0,25$.

Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: уравнение имеет 2 корня: $x_1 = 2$, $x_2 = -0,5$.

б) $x^3 + x - 2 = 0$

Преобразуем уравнение к виду $x^3 = -x + 2$. Для графического решения построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = -x + 2$.

График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола.

График функции $y = -x + 2$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

Корень уравнения — это абсцисса точки пересечения графиков. Из построения видно, что графики пересекаются в одной точке $(1, 1)$.

Проверка: при $x=1$ имеем $y = 1^3 = 1$ и $y = -1 + 2 = 1$.

Так как функция $y=x^3$ является строго возрастающей, а функция $y=-x+2$ — строго убывающей, их графики могут пересечься только один раз. Других корней нет.

Ответ: уравнение имеет 1 корень: $x = 1$.

в) $x^2 + \frac{8}{x} - 1 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $x \neq 0$. Преобразуем уравнение к виду $x^2 - 1 = -\frac{8}{x}$. Построим в одной системе координат графики функций $y = x^2 - 1$ и $y = -\frac{8}{x}$.

График $y = x^2 - 1$ — это парабола с вершиной в точке $(0, -1)$ и ветвями вверх.

График $y = -\frac{8}{x}$ — это гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях.

Корни уравнения — это абсциссы точек пересечения графиков.

При $x > 0$ график параболы лежит выше графика гиперболы. Например, при $x \ge 1$ значения параболы $y = x^2 - 1 \ge 0$, а значения гиперболы $y = -8/x < 0$. При $0 < x < 1$ значения параболы $y \in (-1, 0)$, а значения гиперболы $y < -8$. Таким образом, при $x > 0$ графики не пересекаются и корней нет.

При $x < 0$ оба графика находятся во II четверти ($y > 0$). Функция $y = x^2-1$ возрастает на $(-\infty, 0)$, а $y=-8/x$ убывает на $(-\infty, 0)$, значит, возможно не более одного пересечения. Сравним значения функций в целых точках:
При $x = -2$: $y_{параболы} = (-2)^2 - 1 = 3$; $y_{гиперболы} = -\frac{8}{-2} = 4$. Парабола ниже гиперболы ($3 < 4$).
При $x = -3$: $y_{параболы} = (-3)^2 - 1 = 8$; $y_{гиперболы} = -\frac{8}{-3} \approx 2,67$. Парабола выше гиперболы ($8 > 2,67$).
Поскольку на отрезке $[-3, -2]$ графики меняются взаимным расположением, точка пересечения находится между $x=-3$ и $x=-2$.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень. Его примерное значение, найденное графически, $x \approx -2,15$.

Ответ: уравнение имеет 1 корень, $x \approx -2,15$.

491 С помощью графиков определите, имеет ли уравнение корни, и если имеет, то сколько. Укажите знаки корней:

а) $x^3 = \frac{6}{x}$;

б) $x^3 = -\frac{1}{x}$;

в) $\sqrt{x} = \frac{1}{x}$;

г) $\sqrt{x} = 1 - x^2$.

а) $x^3 = \frac{6}{x}$

Для решения данного уравнения графическим методом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^3$ и $y = \frac{6}{x}$.

График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, расположенная в I и III координатных четвертях. Она проходит через начало координат и является возрастающей на всей области определения.

График функции $y = \frac{6}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $k=6 > 0$. Асимптотами являются оси координат.

В I четверти ($x>0$) обе функции положительны. График $y = x^3$ возрастает от 0, а график $y = \frac{6}{x}$ убывает от $+\infty$. Следовательно, они пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки — положительный корень уравнения.

В III четверти ($x<0$) обе функции отрицательны. График $y = x^3$ возрастает от $-\infty$ до 0, а график $y = \frac{6}{x}$ приближается к оси Y слева, уходя в $-\infty$. Они также пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки — отрицательный корень уравнения.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: уравнение имеет два корня: один положительный и один отрицательный.

б) $x^3 = -\frac{1}{x}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = -\frac{1}{x}$.

График функции $y = x^3$ — кубическая парабола, расположенная в I и III координатных четвертях.

График функции $y = -\frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях, так как коэффициент $k=-1 < 0$.

Рассмотрим знаки функций:

При $x > 0$ функция $y = x^3$ принимает положительные значения (график в I четверти), а функция $y = -\frac{1}{x}$ принимает отрицательные значения (график в IV четверти).

При $x < 0$ функция $y = x^3$ принимает отрицательные значения (график в III четверти), а функция $y = -\frac{1}{x}$ принимает положительные значения (график во II четверти).

Поскольку на всей области определения ($x \neq 0$) левая и правая части уравнения имеют разные знаки, графики функций не пересекаются.

Ответ: уравнение не имеет корней.

в) $\sqrt{x} = \frac{1}{x}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{1}{x}$.

Область определения обеих частей уравнения — $x > 0$. Следовательно, нас интересуют только графики в I координатной четверти.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и монотонно возрастающая.

График функции $y = \frac{1}{x}$ для $x > 0$ — это ветвь гиперболы, расположенная в I четверти. Она является монотонно убывающей.

Возрастающая функция $y=\sqrt{x}$ и убывающая функция $y=\frac{1}{x}$ на промежутке $(0, +\infty)$ могут пересечься не более одного раза. При $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$ и $y=\frac{1}{1}=1$. Значит, графики пересекаются в точке $(1, 1)$.

Абсцисса точки пересечения — это корень уравнения, он равен 1 и является положительным числом.

Ответ: уравнение имеет один положительный корень.

г) $\sqrt{x} = 1 - x^2$

Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 1 - x^2$.

Область определения уравнения задается условием $x \ge 0$. Также, поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то и правая часть должна быть неотрицательной: $1-x^2 \ge 0$, что равносильно $x^2 \le 1$, и с учетом $x \ge 0$ получаем $0 \le x \le 1$. Таким образом, корень (если он существует) должен лежать на отрезке $[0, 1]$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат.

График функции $y = 1 - x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 1)$, ветви которой направлены вниз.

Рассмотрим поведение функций на отрезке $[0, 1]$:

Функция $y = \sqrt{x}$ возрастает от $\sqrt{0}=0$ до $\sqrt{1}=1$.

Функция $y = 1 - x^2$ убывает от $1-0^2=1$ до $1-1^2=0$.

Так как на отрезке $[0, 1]$ одна функция непрерывно возрастает от 0 до 1, а вторая непрерывно убывает от 1 до 0, их графики обязательно пересекутся в одной точке внутри интервала $(0, 1)$.

Абсцисса этой точки пересечения и будет являться корнем уравнения. Этот корень единственный и положительный.

Ответ: уравнение имеет один положительный корень.