Номер 478, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 478, страница 190.

478 Два крана, открытые одновременно, могут наполнить водой детский бассейн за 20 мин. Если сначала на 25 мин открыть только первый кран, а затем его закрыть и открыть второй, то через 16 мин бассейн наполнится. За сколько минут может наполнить бассейн каждый кран в отдельности?

Для решения задачи примем весь объем работы (наполнение бассейна) за 1.

Пусть $x$ – время в минутах, за которое первый кран наполняет бассейн, работая в одиночку. Тогда его производительность (часть бассейна, наполняемая за 1 минуту) составляет $\frac{1}{x}$.

Пусть $y$ – время в минутах, за которое второй кран наполняет бассейн, работая в одиночку. Его производительность составляет $\frac{1}{y}$.

Когда оба крана открыты, их общая производительность равна сумме их производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$.

Из первого условия известно, что вместе они наполняют бассейн за 20 минут. Это можно выразить уравнением:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 20 = 1$

Разделив обе части на 20, получим первое уравнение системы:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20}$

Из второго условия известно, что первый кран работал 25 минут, а затем второй кран работал 16 минут. Объем работы, выполненный первым краном, равен $25 \cdot \frac{1}{x}$. Объем работы, выполненный вторым краном, равен $16 \cdot \frac{1}{y}$. Сумма их работы равна 1 (полный бассейн). Составим второе уравнение:

$\frac{25}{x} + \frac{16}{y} = 1$

Получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20} \\ \frac{25}{x} + \frac{16}{y} = 1 \end{cases}$

Для решения системы выразим $\frac{1}{y}$ из первого уравнения:

$\frac{1}{y} = \frac{1}{20} - \frac{1}{x}$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{25}{x} + 16 \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{x} \right) = 1$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$\frac{25}{x} + \frac{16}{20} - \frac{16}{x} = 1$

Упростим выражение:

$\frac{9}{x} + \frac{4}{5} = 1$

$\frac{9}{x} = 1 - \frac{4}{5}$

$\frac{9}{x} = \frac{1}{5}$

Отсюда находим $x$:

$x = 9 \cdot 5 = 45$

Таким образом, первый кран может наполнить бассейн за 45 минут.

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=45$ в выражение для $\frac{1}{y}$:

$\frac{1}{y} = \frac{1}{20} - \frac{1}{45}$

Приведем дроби к общему знаменателю 180:

$\frac{1}{y} = \frac{9}{180} - \frac{4}{180}$

$\frac{1}{y} = \frac{5}{180}$

$\frac{1}{y} = \frac{1}{36}$

Отсюда находим $y$:

$y = 36$

Следовательно, второй кран может наполнить бассейн за 36 минут.

Ответ: первый кран может наполнить бассейн за 45 минут, второй кран – за 36 минут.