Номер 471, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 471, страница 189.

471 а) Периметр прямоугольника 14 см, а длина его диагонали 5 см. Найдите стороны прямоугольника.

б) Одна из сторон прямоугольника на 2 см короче другой, а его диагональ равна 10 см. Найдите стороны прямоугольника.

а)

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию, периметр равен 14 см, следовательно:

$2(a+b) = 14$

$a+b = 7$

Диагональ прямоугольника $d$, вместе со сторонами $a$ и $b$, образует прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, $a^2 + b^2 = d^2$. Длина диагонали равна 5 см, значит:

$a^2 + b^2 = 5^2 = 25$

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} a+b = 7 \\ a^2+b^2=25 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$: $b = 7 - a$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$a^2 + (7-a)^2 = 25$

$a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25$

$2a^2 - 14a + 24 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$a^2 - 7a + 12 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Корнями являются числа 3 и 4.

Если $a = 3$ см, то $b = 7 - 3 = 4$ см.

Если $a = 4$ см, то $b = 7 - 4 = 3$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см.

б)

Пусть одна сторона прямоугольника равна $x$ см. По условию, другая сторона на 2 см короче, значит, ее длина равна $(x-2)$ см. Так как длина стороны должна быть положительной, $x > 2$.

Диагональ прямоугольника равна 10 см. Применяя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами и диагональю, получаем уравнение:

$x^2 + (x-2)^2 = 10^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x^2 + x^2 - 4x + 4 = 100$

$2x^2 - 4x + 4 - 100 = 0$

$2x^2 - 4x - 96 = 0$

Разделим все уравнение на 2:

$x^2 - 2x - 48 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета, произведение корней равно -48, а их сумма равна 2. Корнями являются числа 8 и -6.

$x_1 = 8$, $x_2 = -6$.

Так как длина стороны не может быть отрицательной, корень $x_2 = -6$ не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, одна сторона равна $x = 8$ см. Эта сторона удовлетворяет условию $x > 2$.

Тогда вторая сторона равна $x - 2 = 8 - 2 = 6$ см.

Стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.