Номер 474, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 474, страница 190.

474 Спортивная площадка прямоугольной формы занимает площадь, равную 600 м². Когда вокруг неё проложили дорожку шириной в 1 м, то площадка вместе с дорожкой стала занимать площадь 704 м². Найдите размеры площадки.

Пусть длина спортивной площадки равна $l$ метров, а ширина – $w$ метров. Площадь прямоугольной площадки вычисляется по формуле $S = l \cdot w$.

По условию задачи, площадь спортивной площадки равна 600 м². Таким образом, мы имеем первое уравнение:

$l \cdot w = 600$

Вокруг площадки проложили дорожку шириной в 1 м. Это означает, что и длина, и ширина общего участка (площадка вместе с дорожкой) увеличились на $1 \text{ м} + 1 \text{ м} = 2$ метра с каждой стороны.

Новая длина стала $(l + 2)$ м, а новая ширина – $(w + 2)$ м. Площадь этого нового, большего прямоугольника составляет 704 м². Это дает нам второе уравнение:

$(l + 2)(w + 2) = 704$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} l \cdot w = 600 \\ (l + 2)(w + 2) = 704 \end{cases}$

Раскроем скобки во втором уравнении:

$l \cdot w + 2l + 2w + 4 = 704$

Подставим значение $l \cdot w = 600$ из первого уравнения в преобразованное второе:

$600 + 2l + 2w + 4 = 704$

Упростим полученное уравнение:

$2l + 2w + 604 = 704$

$2l + 2w = 704 - 604$

$2(l + w) = 100$

$l + w = 50$

Теперь мы можем составить более простую систему уравнений, которая эквивалентна исходной:

$\begin{cases} l + w = 50 \\ l \cdot w = 600 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $l$ через $w$ (или наоборот): $l = 50 - w$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(50 - w) \cdot w = 600$

$50w - w^2 = 600$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$w^2 - 50w + 600 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: нам нужны два числа, сумма которых равна 50, а произведение – 600. Легко подобрать, что это числа 20 и 30. Также можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 2500 - 2400 = 100$

$w_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{50 \pm 10}{2}$

Получаем два корня:

$w_1 = \frac{50 + 10}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$w_2 = \frac{50 - 10}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Мы получили два возможных значения для одной из сторон прямоугольника (ширины). Найдем соответствующие значения для второй стороны (длины):

Если $w = 30$ м, то $l = 50 - 30 = 20$ м.

Если $w = 20$ м, то $l = 50 - 20 = 30$ м.

В обоих случаях мы получаем, что стороны площадки равны 20 м и 30 м.

Проверим результат:
1. Площадь площадки: $20 \text{ м} \cdot 30 \text{ м} = 600 \text{ м}^2$. (Верно)
2. Размеры площадки с дорожкой: $(20+2) \text{ м} \times (30+2) \text{ м} = 22 \text{ м} \times 32 \text{ м} = 704 \text{ м}^2$. (Верно)

Ответ: размеры площадки 20 м и 30 м.