Номер 475, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 475, страница 190.

475 Площадь прямоугольного треугольника равна 30 $см^2$, а его гипотенуза равна 13 см. Найдите катеты треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

Согласно условию задачи, нам известно:
Площадь $S = 30$ см$^2$.
Гипотенуза $c = 13$ см.

Для нахождения катетов воспользуемся двумя ключевыми формулами для прямоугольного треугольника:
1. Формула площади: $S = \frac{1}{2}ab$.
2. Теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим известные значения в эти формулы, чтобы составить систему уравнений.

Из формулы площади получаем первое уравнение:
$30 = \frac{1}{2}ab$
Умножим обе части уравнения на 2:
$ab = 60$

Из теоремы Пифагора получаем второе уравнение:
$a^2 + b^2 = 13^2$
$a^2 + b^2 = 169$

Таким образом, мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} ab = 60 \\ a^2 + b^2 = 169 \end{cases} $

Для решения этой системы можно использовать следующий прием. Возведем в квадрат сумму $(a+b)$:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2+b^2) + 2(ab)$
Теперь подставим в это выражение известные нам значения $a^2+b^2 = 169$ и $ab = 60$:
$(a+b)^2 = 169 + 2 \cdot 60 = 169 + 120 = 289$
Так как длины катетов являются положительными числами, их сумма также положительна. Поэтому:
$a+b = \sqrt{289} = 17$

Теперь мы имеем новую, более простую систему уравнений:
$ \begin{cases} a+b = 17 \\ ab = 60 \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 17t + 60 = 0$.
Решим это уравнение. Найдем дискриминант:
$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49$
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{17 - \sqrt{49}}{2} = \frac{17 - 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$t_2 = \frac{17 + \sqrt{49}}{2} = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Следовательно, катеты треугольника равны 5 см и 12 см.

Ответ: 5 см и 12 см.