Номер 482, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 482, страница 191.

482 Расстояние между пунктами A и B равно 15 км. Два велосипедиста выехали из этих пунктов навстречу друг другу, встретились через 30 мин и, не останавливаясь, продолжили путь. Первый велосипедист прибыл в пункт B на 25 мин раньше, чем второй в пункт A. Найдите скорость каждого велосипедиста.

Решение:

Пусть $v_1$ (в км/ч) — скорость первого велосипедиста, который ехал из пункта А в пункт В, а $v_2$ (в км/ч) — скорость второго велосипедиста, который ехал из пункта В в пункт А. Расстояние между пунктами $S = 15$ км.

Для удобства расчетов переведем единицы времени из минут в часы, так как скорость будем выражать в км/ч.

Время до встречи: $t_{встречи} = 30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = 0.5 \text{ ч}$.

Разница во времени прибытия: $\Delta t = 25 \text{ мин} = \frac{25}{60} \text{ ч} = \frac{5}{12} \text{ ч}$.

1. Составление первого уравнения.

Велосипедисты двигались навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей $(v_1 + v_2)$. За время $t_{встречи}$ они вместе преодолели все расстояние $S$.

$(v_1 + v_2) \cdot t_{встречи} = S$

$(v_1 + v_2) \cdot 0.5 = 15$

Отсюда находим сумму скоростей:

$v_1 + v_2 = \frac{15}{0.5} = 30$

Это наше первое уравнение.

2. Составление второго уравнения.

Общее время, которое затратил первый велосипедист на весь путь из А в В, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{15}{v_1}$ ч.

Общее время, которое затратил второй велосипедист на весь путь из В в А, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{15}{v_2}$ ч.

По условию, первый велосипедист прибыл на 25 минут ($\frac{5}{12}$ часа) раньше второго. Это означает, что его время в пути было меньше:

$t_2 - t_1 = \frac{5}{12}$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{15}{v_2} - \frac{15}{v_1} = \frac{5}{12}$

Это наше второе уравнение.

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 30 \\ \frac{15}{v_2} - \frac{15}{v_1} = \frac{5}{12} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = 30 - v_1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{15}{30 - v_1} - \frac{15}{v_1} = \frac{5}{12}$

Чтобы упростить уравнение, разделим все его члены на 5:

$\frac{3}{30 - v_1} - \frac{3}{v_1} = \frac{1}{12}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v_1(30 - v_1)$:

$\frac{3v_1 - 3(30 - v_1)}{v_1(30 - v_1)} = \frac{1}{12}$

$\frac{3v_1 - 90 + 3v_1}{30v_1 - v_1^2} = \frac{1}{12}$

$\frac{6v_1 - 90}{30v_1 - v_1^2} = \frac{1}{12}$

Воспользуемся свойством пропорции ("крест-накрест"):

$12 \cdot (6v_1 - 90) = 1 \cdot (30v_1 - v_1^2)$

$72v_1 - 1080 = 30v_1 - v_1^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v_1^2 + 72v_1 - 30v_1 - 1080 = 0$

$v_1^2 + 42v_1 - 1080 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 42^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1080) = 1764 + 4320 = 6084$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78$.

Находим возможные значения для $v_1$:

$v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-42 \pm 78}{2}$

Первый корень: $v_{1,1} = \frac{-42 + 78}{2} = \frac{36}{2} = 18$.

Второй корень: $v_{1,2} = \frac{-42 - 78}{2} = \frac{-120}{2} = -60$.

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $v_1 = -60$ не является решением задачи. Таким образом, скорость первого велосипедиста $v_1 = 18$ км/ч.

Теперь найдем скорость второго велосипедиста, используя первое уравнение:

$v_2 = 30 - v_1 = 30 - 18 = 12$ км/ч.

Ответ: скорость первого велосипедиста равна 18 км/ч, а скорость второго велосипедиста — 12 км/ч.