Номер 487, страница 194 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.7. Графическое исследование уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 487, страница 194.

487 Запишите уравнения вида $f(x) = 0$, графические решения которых приведены на рисунке 3.21, а, б. В каждом случае выясните, сколько корней имеет уравнение. Найдите эти корни. Есть ли среди найденных корней точные?

а

На рисунке а изображены графики функций $y = \sqrt{x}$ и прямой, проходящей через точки с координатами $(-4, 0)$ и $(4, 2)$.

Найдем уравнение прямой. Угловой коэффициент $k$ равен:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 0}{4 - (-4)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Подставим координаты точки $(4, 2)$ и значение $k$:

$2 = \frac{1}{4} \cdot 4 + b \Rightarrow 2 = 1 + b \Rightarrow b = 1$.

Таким образом, уравнение прямой: $y = \frac{1}{4}x + 1$.

Графическое решение соответствует нахождению корней уравнения $\sqrt{x} = \frac{1}{4}x + 1$.

Запишем это уравнение в виде $f(x) = 0$:

$\sqrt{x} - \frac{1}{4}x - 1 = 0$.

Для решения возведем обе части уравнения $\sqrt{x} = \frac{1}{4}x + 1$ в квадрат, учитывая, что $x \ge 0$ и $\frac{1}{4}x + 1 \ge 0$ (что верно при $x \ge -4$). Общее условие: $x \ge 0$.

$x = \left(\frac{1}{4}x + 1\right)^2$

$x = \frac{1}{16}x^2 + 2 \cdot \frac{1}{4}x \cdot 1 + 1^2$

$x = \frac{1}{16}x^2 + \frac{1}{2}x + 1$

$\frac{1}{16}x^2 - \frac{1}{2}x + 1 = 0$

Умножим обе части на 16:

$x^2 - 8x + 16 = 0$

$(x-4)^2 = 0$

Уравнение имеет один корень $x=4$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 0$. На графике также видна одна точка пересечения. Таким образом, уравнение имеет один корень.

Найденный корень $x=4$ является точным.

Ответ: уравнение: $\sqrt{x} - \frac{1}{4}x - 1 = 0$; уравнение имеет 1 корень; корень $x=4$; корень является точным.

б

На рисунке б изображены графики функций $y = -\frac{2}{x}$ и $y = x^2 - 3$.

Графическое решение соответствует нахождению корней уравнения $-\frac{2}{x} = x^2 - 3$.

Запишем это уравнение в виде $f(x) = 0$:

$x^2 - 3 + \frac{2}{x} = 0$.

Для решения умножим обе части на $x$ (при условии $x \neq 0$):

$-2 = x(x^2 - 3)$

$-2 = x^3 - 3x$

$x^3 - 3x + 2 = 0$.

Из графика видно, что функции пересекаются в двух точках. Определим их абсциссы. Похоже, что корни являются целыми числами. Проверим $x=-2$:

Левая часть: $y = -\frac{2}{-2} = 1$.

Правая часть: $y = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$.

Значит, $x_1 = -2$ — корень уравнения.

Проверим $x=1$:

Левая часть: $y = -\frac{2}{1} = -2$.

Правая часть: $y = 1^2 - 3 = 1 - 3 = -2$.

Значит, $x_2 = 1$ — тоже корень уравнения.

Так как мы нашли два корня кубического уравнения, разделим многочлен $x^3 - 3x + 2$ на $(x-1)(x+2) = x^2+x-2$ или воспользуемся тем, что $(x-1)$ и $(x+2)$ являются его множителями. Факторизация многочлена: $(x-1)^2(x+2)=0$.

Таким образом, уравнение имеет два различных корня: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Оба найденных корня являются точными.

Ответ: уравнение: $x^2 - 3 + \frac{2}{x} = 0$; уравнение имеет 2 корня; корни $x_1 = -2$, $x_2 = 1$; оба корня являются точными.

в

На рисунке в изображены графики функций $y = x^3$ и $y = 3 - 2x$.

Графическое решение соответствует нахождению корней уравнения $x^3 = 3 - 2x$.

Запишем это уравнение в виде $f(x) = 0$:

$x^3 + 2x - 3 = 0$.

На графике видна одна точка пересечения. Ее абсцисса, по-видимому, равна 1. Проверим $x=1$:

$1^3 + 2 \cdot 1 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$.

Равенство верное, значит, $x=1$ — корень уравнения.

Чтобы проверить, есть ли другие корни, разделим многочлен $x^3 + 2x - 3$ на $(x-1)$:

$(x^3 + 2x - 3) : (x-1) = x^2 + x + 3$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде $(x-1)(x^2 + x + 3) = 0$.

Это уравнение распадается на два: $x-1 = 0$ или $x^2 + x + 3 = 0$.

Первое уравнение дает корень $x=1$.

Для второго уравнения $x^2 + x + 3 = 0$ найдем дискриминант:

$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$.

Так как $\Delta < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только один корень.

Найденный корень $x=1$ является точным.

Ответ: уравнение: $x^3 + 2x - 3 = 0$; уравнение имеет 1 корень; корень $x=1$; корень является точным.