Страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

457 Решите систему уравнений, воспользовавшись в качестве образца примером 4:

а) $\begin{cases} xy = -4 \\ x^2 + y^2 = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 29 \\ xy = -10. \end{cases}$

Для решения данных систем уравнений воспользуемся формулами сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:

• $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
• $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

Эти тождества позволяют свести исходную систему к более простым системам линейных уравнений.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy = -4 \\ x^2 + y^2 = 8 \end{cases} $

1. Найдем значение $(x+y)^2$, используя известные значения $x^2+y^2$ и $xy$:

$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 8 + 2(-4) = 8 - 8 = 0$

Отсюда следует, что $x+y = 0$.

2. Теперь найдем значение $(x-y)^2$:

$(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 8 - 2(-4) = 8 + 8 = 16$

Отсюда следует, что $x-y = 4$ или $x-y = -4$.

3. Теперь решим две системы линейных уравнений:

Случай 1:

$ \begin{cases} x+y = 0 \\ x-y = 4 \end{cases} $

Сложив два уравнения, получим: $2x = 4$, откуда $x=2$.

Подставим $x=2$ в первое уравнение: $2+y=0$, откуда $y=-2$.

Получили решение: $(2, -2)$.

Случай 2:

$ \begin{cases} x+y = 0 \\ x-y = -4 \end{cases} $

Сложив два уравнения, получим: $2x = -4$, откуда $x=-2$.

Подставим $x=-2$ в первое уравнение: $-2+y=0$, откуда $y=2$.

Получили решение: $(-2, 2)$.

Ответ: $(2, -2), (-2, 2)$.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 29 \\ xy = -10 \end{cases} $

1. Найдем значение $(x+y)^2$:

$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 29 + 2(-10) = 29 - 20 = 9$

Отсюда следует, что $x+y = 3$ или $x+y = -3$.

2. Найдем значение $(x-y)^2$:

$(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 29 - 2(-10) = 29 + 20 = 49$

Отсюда следует, что $x-y = 7$ или $x-y = -7$.

3. Теперь решим четыре системы линейных уравнений, комбинируя полученные значения:

Случай 1:

$ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 7 \end{cases} $

Складываем уравнения: $2x = 10 \implies x=5$. Подставляем в первое уравнение: $5+y=3 \implies y=-2$. Решение: $(5, -2)$.

Случай 2:

$ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = -7 \end{cases} $

Складываем уравнения: $2x = -4 \implies x=-2$. Подставляем в первое уравнение: $-2+y=3 \implies y=5$. Решение: $(-2, 5)$.

Случай 3:

$ \begin{cases} x+y = -3 \\ x-y = 7 \end{cases} $

Складываем уравнения: $2x = 4 \implies x=2$. Подставляем в первое уравнение: $2+y=-3 \implies y=-5$. Решение: $(2, -5)$.

Случай 4:

$ \begin{cases} x+y = -3 \\ x-y = -7 \end{cases} $

Складываем уравнения: $2x = -10 \implies x=-5$. Подставляем в первое уравнение: $-5+y=-3 \implies y=2$. Решение: $(-5, 2)$.

Ответ: $(5, -2), (-2, 5), (2, -5), (-5, 2)$.

458 Решите способом подстановки систему уравнений:

a) $\begin{cases}y - x = 9 \\\frac{10}{y} - \frac{4}{x} = 3;\end{cases}$

б) $\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 1 \\3x - y = 2;\end{cases}$

в) $\begin{cases}2x - y = -1 \\\frac{1}{x+2} + \frac{10}{y+2} = 1;\end{cases}$

г) $\begin{cases}x - 3y = 5 \\\frac{6}{x+1} - \frac{4}{y+3} = 3.\end{cases}$

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y - x = 9, \\ \frac{10}{y} - \frac{4}{x} = 3. \end{cases} $

1. Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = x + 9$.

2. Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы. Область допустимых значений (ОДЗ) для второго уравнения: $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Так как $y = x+9$, то $x+9 \neq 0$, следовательно $x \neq -9$.

$\frac{10}{x+9} - \frac{4}{x} = 3$.

3. Решим полученное уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+9)$:

$\frac{10x - 4(x+9)}{x(x+9)} = 3$.

При условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -9$, мы можем умножить обе части на знаменатель:

$10x - 4(x+9) = 3x(x+9)$

$10x - 4x - 36 = 3x^2 + 27x$

$6x - 36 = 3x^2 + 27x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 + 27x - 6x + 36 = 0$

$3x^2 + 21x + 36 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$x^2 + 7x + 12 = 0$.

4. Найдем корни квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна -7, а произведение равно 12. Корнями являются $x_1 = -3$ и $x_2 = -4$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

5. Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$:

Если $x_1 = -3$, то $y_1 = -3 + 9 = 6$.

Если $x_2 = -4$, то $y_2 = -4 + 9 = 5$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(-3, 6)$, $(-4, 5)$.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 1, \\ 3x - y = 2. \end{cases} $

1. Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 3x - 2$.

2. Подставим это выражение в первое уравнение. ОДЗ: $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Так как $y=3x-2$, то $3x-2 \neq 0$, следовательно $x \neq \frac{2}{3}$.

$\frac{1}{x} + \frac{2}{3x-2} = 1$.

3. Решим полученное уравнение. Общий знаменатель $x(3x-2)$:

$\frac{3x-2 + 2x}{x(3x-2)} = 1$.

При условии, что $x \neq 0$ и $x \neq \frac{2}{3}$:

$5x - 2 = x(3x-2)$

$5x - 2 = 3x^2 - 2x$

$3x^2 - 7x + 2 = 0$.

4. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 5}{6}$.

$x_1 = \frac{7-5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{7+5}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

5. Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = \frac{1}{3}$, то $y_1 = 3(\frac{1}{3}) - 2 = 1 - 2 = -1$.

Если $x_2 = 2$, то $y_2 = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4$.

Ответ: $(\frac{1}{3}, -1)$, $(2, 4)$.

в)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x - y = -1, \\ \frac{1}{x+2} + \frac{10}{y+2} = 1. \end{cases} $

1. Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 2x + 1$.

2. Подставим это выражение во второе уравнение. ОДЗ: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$ и $y+2 \neq 0$. Так как $y=2x+1$, то $(2x+1)+2 \neq 0 \implies 2x+3 \neq 0 \implies x \neq -\frac{3}{2}$.

$\frac{1}{x+2} + \frac{10}{(2x+1)+2} = 1$

$\frac{1}{x+2} + \frac{10}{2x+3} = 1$.

3. Решим уравнение. Общий знаменатель $(x+2)(2x+3)$:

$\frac{2x+3 + 10(x+2)}{(x+2)(2x+3)} = 1$.

При условии, что $x \neq -2$ и $x \neq -\frac{3}{2}$:

$2x+3 + 10x + 20 = (x+2)(2x+3)$

$12x + 23 = 2x^2 + 3x + 4x + 6$

$12x + 23 = 2x^2 + 7x + 6$

$2x^2 - 5x - 17 = 0$.

4. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-17) = 25 + 136 = 161$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{161}}{4}$.

$x_1 = \frac{5 + \sqrt{161}}{4}$, $x_2 = \frac{5 - \sqrt{161}}{4}$.

5. Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = \frac{5 + \sqrt{161}}{4}$, то $y_1 = 2(\frac{5 + \sqrt{161}}{4}) + 1 = \frac{5 + \sqrt{161}}{2} + 1 = \frac{5 + \sqrt{161} + 2}{2} = \frac{7 + \sqrt{161}}{2}$.

Если $x_2 = \frac{5 - \sqrt{161}}{4}$, то $y_2 = 2(\frac{5 - \sqrt{161}}{4}) + 1 = \frac{5 - \sqrt{161}}{2} + 1 = \frac{5 - \sqrt{161} + 2}{2} = \frac{7 - \sqrt{161}}{2}$.

Ответ: $(\frac{5 + \sqrt{161}}{4}, \frac{7 + \sqrt{161}}{2})$, $(\frac{5 - \sqrt{161}}{4}, \frac{7 - \sqrt{161}}{2})$.

г)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - 3y = 5, \\ \frac{6}{x+1} - \frac{4}{y+3} = 3. \end{cases} $

1. Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 3y + 5$.

2. Подставим это выражение во второе уравнение. ОДЗ: $x+1 \neq 0$ и $y+3 \neq 0$. Так как $x=3y+5$, то $(3y+5)+1 \neq 0 \implies 3y+6 \neq 0 \implies y \neq -2$.

$\frac{6}{(3y+5)+1} - \frac{4}{y+3} = 3$

$\frac{6}{3y+6} - \frac{4}{y+3} = 3$

Упростим первую дробь, вынеся 3 за скобки в знаменателе:

$\frac{6}{3(y+2)} - \frac{4}{y+3} = 3$

$\frac{2}{y+2} - \frac{4}{y+3} = 3$.

3. Решим полученное уравнение. Общий знаменатель $(y+2)(y+3)$:

$\frac{2(y+3) - 4(y+2)}{(y+2)(y+3)} = 3$.

При условии, что $y \neq -2$ и $y \neq -3$:

$2y+6 - 4y-8 = 3(y+2)(y+3)$

$-2y-2 = 3(y^2 + 5y + 6)$

$-2y-2 = 3y^2 + 15y + 18$

$3y^2 + 17y + 20 = 0$.

4. Решим квадратное уравнение относительно $y$:

$D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 \cdot 3 \cdot 20 = 289 - 240 = 49$.

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-17 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-17 \pm 7}{6}$.

$y_1 = \frac{-17-7}{6} = \frac{-24}{6} = -4$.

$y_2 = \frac{-17+7}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

5. Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = -4$, то $x_1 = 3(-4) + 5 = -12 + 5 = -7$.

Если $y_2 = -\frac{5}{3}$, то $x_2 = 3(-\frac{5}{3}) + 5 = -5 + 5 = 0$.

Ответ: $(-7, -4)$, $(0, -\frac{5}{3})$.

459 1) Разберите начало решения системы уравнений

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \\ x + y = 9. \end{cases}$

Решение.

Представим левую часть первого уравнения в виде дроби:

$\begin{cases} \frac{x+y}{xy} = \frac{1}{2} \\ x + y = 9; \end{cases}$

подставим в первое уравнение системы значение $x + y$:

$\begin{cases} \frac{9}{xy} = \frac{1}{2} \\ x + y = 9; \end{cases}$

преобразуем первое уравнение с помощью основного свойства пропорции:

$\begin{cases} xy = 18 \\ x + y = 9. \end{cases}$

Далее воспользуемся способом подстановки. Доведите решение системы до конца.

2) Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3} \\ x + y = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y = 20 \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{4}{15}, \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \\ xy = -2. \end{cases}$

1)

В задаче было показано, как исходная система уравнений $$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \\ x+y=9 \end{cases} $$ преобразуется к более простому виду: $$ \begin{cases} xy = 18 \\ x+y=9 \end{cases} $$ Для завершения решения воспользуемся методом подстановки, как предложено в условии.
Из второго уравнения выразим y через x: $ y = 9 - x $
Подставим это выражение в первое уравнение: $ x(9-x) = 18 $
Раскроем скобки и преобразуем уравнение: $ 9x - x^2 = 18 $
$ x^2 - 9x + 18 = 0 $
Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются числа, сумма которых равна 9, а произведение равно 18. Это числа 3 и 6.
Таким образом, $x_1 = 3$, $x_2 = 6$.
Теперь найдем соответствующие значения y:
Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 9 - 3 = 6$.
Если $x_2 = 6$, то $y_2 = 9 - 6 = 3$.
Система имеет два решения.
Ответ: (3; 6), (6; 3).

2)

а)
Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3} \\ x+y=8 \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение, приведя левую часть к общему знаменателю: $ \frac{x+y}{xy} = \frac{2}{3} $
Из второго уравнения системы известно, что $x+y=8$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение: $ \frac{8}{xy} = \frac{2}{3} $
Используя основное свойство пропорции, получим: $ 2 \cdot xy = 8 \cdot 3 $
$ 2xy = 24 $
$ xy = 12 $
Теперь решаем систему: $$ \begin{cases} xy = 12 \\ x+y=8 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $ y = 8 - x $ и подставим в первое: $ x(8-x) = 12 $
$ 8x - x^2 = 12 $
$ x^2 - 8x + 12 = 0 $
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 6$.
Найдем соответствующие значения y:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 8 - 2 = 6$.
Если $x_2 = 6$, то $y_2 = 8 - 6 = 2$.
Ответ: (2; 6), (6; 2).

б)
Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - y = 20 \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{4}{15} \end{cases} $$ Преобразуем второе уравнение, приведя левую часть к общему знаменателю: $ \frac{y-x}{xy} = \frac{4}{15} $
Из первого уравнения системы $x-y=20$, следовательно, $y-x = -(x-y) = -20$.
Подставим это значение в преобразованное второе уравнение: $ \frac{-20}{xy} = \frac{4}{15} $
Используя основное свойство пропорции, получим: $ 4 \cdot xy = -20 \cdot 15 $
$ 4xy = -300 $
$ xy = -75 $
Теперь решаем систему: $$ \begin{cases} x-y = 20 \\ xy = -75 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $ x = 20 + y $ и подставим во второе: $ (20+y)y = -75 $
$ 20y + y^2 = -75 $
$ y^2 + 20y + 75 = 0 $
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 75 = 400 - 300 = 100 $.
Корни для y: $ y_1 = \frac{-20 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-20+10}{2} = -5 $
$ y_2 = \frac{-20 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-20-10}{2} = -15 $
Найдем соответствующие значения x:
Если $y_1 = -5$, то $x_1 = 20 + (-5) = 15$.
Если $y_2 = -15$, то $x_2 = 20 + (-15) = 5$.
Ответ: (15; -5), (5; -15).

в)
Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \\ xy = -2 \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение, приведя левую часть к общему знаменателю: $ \frac{x+y}{xy} = \frac{1}{2} $
Из второго уравнения системы известно, что $xy=-2$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение: $ \frac{x+y}{-2} = \frac{1}{2} $
Умножим обе части уравнения на -2: $ x+y = -1 $
Теперь решаем систему: $$ \begin{cases} x+y = -1 \\ xy = -2 \end{cases} $$ По обратной теореме Виета, x и y являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.
$ t^2 - (-1)t + (-2) = 0 $
$ t^2 + t - 2 = 0 $
Корни этого уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = -2$.
Это означает, что переменные x и y принимают эти значения в парах.
Если $x=1$, то $y=-2$.
Если $x=-2$, то $y=1$.
Ответ: (1; -2), (-2; 1).