Страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

440 Среди данных уравнений найдите уравнения параболы, гиперболы, окружности, прямой:

1) $x^2 - \frac{1}{3}y = 2$;

2) $xy = -4$;

3) $y + 2x = 6$;

4) $4 - 2xy = 0$;

5) $x^2 + y^2 = 25$;

6) $x^2 - x - y = 0$;

7) $3y - 6 = 0$;

8) $x^2 + y^2 - 9 = 0$.

Постройте график каждого уравнения.

Сначала проведем классификацию данных уравнений по типам кривых.

Уравнения параболы:

• 1) $x^2 - \frac{1}{3}y = 2$
• 6) $x^2 - x - y = 0$

Уравнения гиперболы:

• 2) $xy = -4$
• 4) $4 - 2xy = 0$

Уравнения окружности:

• 5) $x^2 + y^2 = 25$
• 8) $x^2 + y^2 - 9 = 0$

Уравнения прямой:

• 3) $y + 2x = 6$
• 7) $3y - 6 = 0$

Теперь проанализируем и построим график для каждого уравнения.

1) $x^2 - \frac{1}{3}y = 2$

Преобразуем уравнение, выразив $y$ через $x$:
$\frac{1}{3}y = x^2 - 2$
$y = 3x^2 - 6$
Это уравнение вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=3, b=0, c=-6$. Следовательно, это парабола.

Построение графика:

• Так как коэффициент $a=3 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
  $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 3} = 0$
  $y_0 = 3(0)^2 - 6 = -6$
  Вершина находится в точке $(0, -6)$.
• Ось симметрии параболы — прямая $x = 0$ (ось $Oy$).
• Найдем точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции), приравняв $y$ к нулю:
  $3x^2 - 6 = 0 \implies 3x^2 = 6 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
  Точки пересечения с осью $Ox$: $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, 0)$.
• Для большей точности найдем еще пару точек: при $x = 2, y = 3(2)^2 - 6 = 12 - 6 = 6$. Точка $(2, 6)$. при $x = -2, y = 3(-2)^2 - 6 = 12 - 6 = 6$. Точка $(-2, 6)$.
• График — парабола с вершиной в $(0, -6)$, ветвями вверх, проходящая через точки $(-\sqrt{2}, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$, $(2, 6)$ и $(-2, 6)$.

Ответ: парабола.

2) $xy = -4$

Преобразуем уравнение: $y = -\frac{4}{x}$.
Это уравнение вида $y = \frac{k}{x}$, где $k=-4$. Следовательно, это гипербола.

Построение графика:

• Так как $k = -4 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.
• Асимптоты гиперболы — оси координат: прямая $x=0$ (ось $Oy$) и прямая $y=0$ (ось $Ox$).
• Найдем несколько точек для построения каждой ветви:
  • Для IV четверти: $(1, -4), (2, -2), (4, -1)$.
  • Для II четверти: $(-1, 4), (-2, 2), (-4, 1)$.
• График — гипербола, состоящая из двух ветвей во второй и четвертой четвертях, симметричных относительно начала координат и приближающихся к осям.

Ответ: гипербола.

3) $y + 2x = 6$

Преобразуем уравнение: $y = -2x + 6$.
Это уравнение вида $y = kx + b$, где $k=-2, b=6$. Следовательно, это прямая.

Построение графика:

• Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат.
• Пересечение с осью $Oy$: при $x=0, y = -2(0) + 6 = 6$. Точка $(0, 6)$.
• Пересечение с осью $Ox$: при $y=0, 0 = -2x + 6 \implies 2x = 6 \implies x = 3$. Точка $(3, 0)$.
• Проводим прямую линию через точки $(0, 6)$ и $(3, 0)$.

Ответ: прямая.

4) $4 - 2xy = 0$

Преобразуем уравнение: $2xy = 4 \implies xy = 2 \implies y = \frac{2}{x}$.
Это уравнение вида $y = \frac{k}{x}$, где $k=2$. Следовательно, это гипербола.

Построение графика:

• Так как $k = 2 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.
• Асимптоты гиперболы — оси координат: $x=0$ и $y=0$.
• Найдем несколько точек:
  • Для I четверти: $(1, 2), (2, 1), (0.5, 4)$.
  • Для III четверти: $(-1, -2), (-2, -1), (-0.5, -4)$.
• График — гипербола, состоящая из двух ветвей в первой и третьей четвертях, симметричных относительно начала координат.

Ответ: гипербола.

5) $x^2 + y^2 = 25$

Уравнение уже представлено в каноническом виде для окружности: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$.
В данном случае $x^2 + y^2 = 5^2$, где $a=0, b=0, R=5$. Следовательно, это окружность.

Построение графика:

• Центр окружности находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
• Радиус окружности $R=5$.
• График — окружность с центром в $(0, 0)$, проходящая через точки $(5, 0), (-5, 0), (0, 5)$ и $(0, -5)$.

Ответ: окружность.

6) $x^2 - x - y = 0$

Преобразуем уравнение, выразив $y$: $y = x^2 - x$.
Это уравнение вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1, b=-1, c=0$. Следовательно, это парабола.

Построение графика:

• Так как $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Найдем координаты вершины $(x_0, y_0)$:
  $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$
  $y_0 = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{1}{4}$
  Вершина находится в точке $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$.
• Ось симметрии — прямая $x = \frac{1}{2}$.
• Найдем точки пересечения с осями:
  • С осью $Oy$ (при $x=0$): $y = 0^2 - 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.
  • С осью $Ox$ (при $y=0$): $x^2 - x = 0 \implies x(x-1)=0 \implies x=0$ или $x=1$. Точки $(0, 0)$ и $(1, 0)$.
• График — парабола с вершиной в $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$, ветвями вверх, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(1, 0)$.

Ответ: парабола.

7) $3y - 6 = 0$

Преобразуем уравнение: $3y = 6 \implies y = 2$.
Это уравнение прямой, параллельной оси $Ox$. Его можно записать в виде $y=kx+b$ как $y=0 \cdot x + 2$.

Построение графика:

• Это горизонтальная прямая, у всех точек которой ордината (координата $y$) равна 2.
• Прямая проходит через точку $(0, 2)$ и параллельна оси $Ox$.

Ответ: прямая.

8) $x^2 + y^2 - 9 = 0$

Преобразуем уравнение: $x^2 + y^2 = 9 \implies x^2 + y^2 = 3^2$.
Это каноническое уравнение окружности $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ с параметрами $a=0, b=0, R=3$.

Построение графика:

• Центр окружности находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
• Радиус окружности $R=3$.
• График — окружность с центром в $(0, 0)$, проходящая через точки $(3, 0), (-3, 0), (0, 3)$ и $(0, -3)$.

Ответ: окружность.

441 Система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь одно решение, не иметь решений, иметь бесконечно много решений. Пользуясь рисунком 3.13, а–в, запишите систему, соответствующую каждому из этих случаев. Решите алгебраически систему, имеющую одно решение.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными описывает взаимное расположение двух прямых на плоскости. В зависимости от этого расположения система может иметь одно решение, не иметь решений или иметь бесконечно много решений.

• Одно решение: Графики уравнений — это две прямые, пересекающиеся в одной точке. Координаты этой точки и являются единственным решением системы.
• Нет решений: Графики уравнений — это две параллельные прямые, которые никогда не пересекаются.
• Бесконечно много решений: Графики уравнений — это две совпадающие прямые. Каждая точка этой прямой является решением системы.

Ниже приведены примеры систем уравнений для каждого из трех случаев, которые могли бы соответствовать рисункам а, б и в.

а) Система, имеющая одно решение

Предположим, на рисунке а изображены две пересекающиеся прямые. Например, $y = -2x + 4$ и $y = x + 1$. Запишем их в виде системы уравнений:
$ \begin{cases} y = -2x + 4 \\ y = x + 1 \end{cases} $
Приведем уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$:
$ \begin{cases} 2x + y = 4 \\ -x + y = 1 \end{cases} $

Ответ: $ \begin{cases} 2x + y = 4 \\ -x + y = 1 \end{cases} $

б) Система, не имеющая решений

Предположим, на рисунке б изображены две параллельные прямые. У таких прямых одинаковые угловые коэффициенты, но разные свободные члены. Например, $y = 0.5x + 2$ и $y = 0.5x - 1$. Запишем систему, приведя уравнения к стандартному виду:
$ \begin{cases} -0.5x + y = 2 \\ -0.5x + y = -1 \end{cases} $
Для удобства можно умножить оба уравнения на 2:
$ \begin{cases} -x + 2y = 4 \\ -x + 2y = -2 \end{cases} $

Ответ: $ \begin{cases} -x + 2y = 4 \\ -x + 2y = -2 \end{cases} $

в) Система, имеющая бесконечно много решений

Предположим, на рисунке в изображены две совпадающие прямые. Это означает, что одно уравнение системы является следствием другого (получено из него умножением на число). Например, возьмем уравнение $x - 3y = 2$ и умножим его на 3, чтобы получить второе уравнение $3x - 9y = 6$.

Ответ: $ \begin{cases} x - 3y = 2 \\ 3x - 9y = 6 \end{cases} $

Решение алгебраически системы, имеющей одно решение

Решим систему, составленную в пункте а). Есть несколько методов, воспользуемся методом подстановки.
Исходная система в удобном для подстановки виде: $ \begin{cases} y = -2x + 4 \\ y = x + 1 \end{cases} $

Поскольку левые части уравнений равны ($y=y$), мы можем приравнять их правые части:
$-2x + 4 = x + 1$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:
$4 - 1 = x + 2x$
$3 = 3x$
$x = 1$

Подставим найденное значение $x=1$ во второе уравнение системы, чтобы найти $y$:
$y = 1 + 1$
$y = 2$

Решением системы является упорядоченная пара чисел $(1; 2)$. Это координаты точки пересечения двух прямых.

Ответ: $(1; 2)$

442 Решите систему уравнений графически, пользуясь рисунком 3.14. Проверьте свой ответ, выполнив подстановку:

a) $ \begin{cases} x^2 - y = 8 \\ y + x = -2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} xy = 12 \\ y + 6 = 2; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 20 \\ x + y = 6. \end{cases} $

a) $y - x = 3$

$y + 2x = -3$

б) $2y - x = 6$

$2y - x = -4$

в) $y + 2x = 4$

Рис. 3.13

a) $x^2 - y = 8$

$y + x = -2$

б) $xy = 12$

$y + 6 = 2$

в) $y + x = 6$

$x^2 + y^2 = 20$

Рис. 3.14

a) Решим систему уравнений:$\begin{cases}x^2 - y = 8 \\y + x = -2\end{cases}$

Графическое решение: На рисунке 3.14 а) изображены графики уравнений системы: парабола $y = x^2 - 8$ и прямая $y = -x - 2$. Графики пересекаются в двух точках. Судя по рисунку, координаты этих точек: $(-3, 1)$ и $(2, -4)$.

Проверка подстановкой: Выразим $y$ из второго уравнения: $y = -x - 2$. Подставим в первое уравнение:

$x^2 - (-x - 2) = 8$

$x^2 + x + 2 = 8$

$x^2 + x - 6 = 0$

Корни этого квадратного уравнения, найденные по теореме Виета или через дискриминант: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x = 2$, то $y = -2 - 2 = -4$.

Если $x = -3$, то $y = -(-3) - 2 = 1$.

Решения, полученные алгебраически, $(2, -4)$ и $(-3, 1)$, совпадают с найденными по графику.

Ответ: $(-3, 1), (2, -4)$.

б) Решим систему уравнений:$\begin{cases}xy = 12 \\y + 6 = 2\end{cases}$

Графическое решение: На рисунке 3.14 б) изображены графики уравнений системы: гипербола $y = \frac{12}{x}$ и прямая, которую можно преобразовать к виду $y = -4$. Графики пересекаются в одной точке. Судя по рисунку, ее координаты $(-3, -4)$.

Проверка подстановкой: Из второго уравнения $y + 6 = 2$ находим $y$: $y = 2 - 6 = -4$. Подставим это значение в первое уравнение:

$x \cdot (-4) = 12$

$-4x = 12$

$x = -3$

Решение, полученное алгебраически, $(-3, -4)$, совпадает с найденным по графику.

Ответ: $(-3, -4)$.

в) Решим систему уравнений:$\begin{cases}x^2 + y^2 = 20 \\x + y = 6\end{cases}$

Графическое решение: На рисунке 3.14 в) изображены графики уравнений системы: окружность $x^2 + y^2 = 20$ с центром в начале координат и радиусом $\sqrt{20}$, и прямая $y = 6 - x$. Графики пересекаются в двух точках. Судя по рисунку, координаты этих точек: $(2, 4)$ и $(4, 2)$.

Проверка подстановкой: Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 6 - x$. Подставим в первое уравнение:

$x^2 + (6 - x)^2 = 20$

$x^2 + 36 - 12x + x^2 = 20$

$2x^2 - 12x + 16 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2: $x^2 - 6x + 8 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения, найденные по теореме Виета или через дискриминант: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x = 2$, то $y = 6 - 2 = 4$.

Если $x = 4$, то $y = 6 - 4 = 2$.

Решения, полученные алгебраически, $(2, 4)$ и $(4, 2)$, совпадают с найденными по графику.

Ответ: $(2, 4), (4, 2)$.