Страница 176 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

439 Причалы $A$ и $B$ расположены на разных берегах озера. Катер отошёл от причала $A$ в направлении причала $B$. Через 12 мин навстречу ему от причала $B$ отошёл теплоход и встретил катер через 20 мин после своего выхода. За какое время катер проходит расстояние между причалами, если известно, что ему требуется на это на 12 мин меньше, чем теплоходу?

Пусть $t_к$ (в минутах) — время, за которое катер проходит расстояние между причалами А и В, а $t_т$ (в минутах) — время, за которое это же расстояние проходит теплоход.

По условию задачи, катеру требуется на 12 минут меньше, чем теплоходу, чтобы пройти расстояние между причалами. Это можно записать в виде уравнения:
$t_к = t_т - 12$

Примем все расстояние между причалами за 1 единицу. Тогда скорость катера $v_к$ и скорость теплохода $v_т$ можно выразить как долю расстояния, пройденную за 1 минуту:
$v_к = \frac{1}{t_к}$
$v_т = \frac{1}{t_т}$

Катер отошёл от причала А. Через 12 минут навстречу ему от причала В отошёл теплоход и встретил катер через 20 минут после своего выхода.
Это означает, что к моменту встречи:
- Катер был в пути $12 + 20 = 32$ минуты.
- Теплоход был в пути $20$ минут.

Сумма расстояний, пройденных катером и теплоходом до момента встречи, равна всему расстоянию между причалами (т.е. 1). Составим уравнение, используя формулу "расстояние = скорость × время":
$v_к \cdot 32 + v_т \cdot 20 = 1$

Подставим в это уравнение выражения для скоростей $v_к$ и $v_т$:
$\frac{1}{t_к} \cdot 32 + \frac{1}{t_т} \cdot 20 = 1$
$\frac{32}{t_к} + \frac{20}{t_т} = 1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:
1) $t_к = t_т - 12$
2) $\frac{32}{t_к} + \frac{20}{t_т} = 1$

Подставим выражение для $t_к$ из первого уравнения во второе:
$\frac{32}{t_т - 12} + \frac{20}{t_т} = 1$

Решим это уравнение относительно $t_т$. Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{32t_т + 20(t_т - 12)}{t_т(t_т - 12)} = 1$
При условии, что $t_т \neq 0$ и $t_т \neq 12$, мы можем умножить обе части на знаменатель:
$32t_т + 20t_т - 240 = t_т(t_т - 12)$
$52t_т - 240 = t_т^2 - 12t_т$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$t_т^2 - 12t_т - 52t_т + 240 = 0$
$t_т^2 - 64t_т + 240 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-64)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 240 = 4096 - 960 = 3136$
$\sqrt{D} = \sqrt{3136} = 56$

Теперь найдем значения $t_т$:
$t_{т1} = \frac{-(-64) + 56}{2 \cdot 1} = \frac{64 + 56}{2} = \frac{120}{2} = 60$
$t_{т2} = \frac{-(-64) - 56}{2 \cdot 1} = \frac{64 - 56}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Проверим оба корня. По условию $t_к = t_т - 12$, а время не может быть отрицательным, значит $t_т$ должно быть больше 12.
- Если $t_т = 60$, то $t_к = 60 - 12 = 48$. Этот корень подходит, так как время положительное.
- Если $t_т = 4$, то $t_к = 4 - 12 = -8$. Время не может быть отрицательным, поэтому этот корень не является решением задачи.

Таким образом, время, которое требуется теплоходу на весь путь, составляет 60 минут. Время, которое требуется катеру, равно:
$t_к = 60 - 12 = 48$ минут.

Ответ: 48 минут.