Страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

411 Функции заданы формулами:

$y = \frac{1}{x^2+1}$; $y = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}$; $y = \frac{x^2}{x^2+1}$; $y = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}$.

Для каждой функции определите, пересекает ли её график ось x, и если пересекает, то в каких точках.

$y = \frac{1}{x^2 + 1}$
Чтобы найти точки пересечения графика функции с осью x (осью абсцисс), необходимо значение функции приравнять к нулю, так как на этой оси координата y всегда равна нулю. Решим уравнение $y=0$:
$\frac{1}{x^2 + 1} = 0$
Данное уравнение не имеет решений, так как дробь может равняться нулю только в том случае, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае числитель равен 1, что не равно нулю. Знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен для любого действительного $x$. Таким образом, график этой функции не имеет точек пересечения с осью x.
Ответ: график функции не пересекает ось x.

$y = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}$
Приравняем функцию к нулю для нахождения точек пересечения с осью x:
$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = 0$
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x-1 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+1) = x^2-1$:
$\frac{x+1}{(x-1)(x+1)} + \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = 0$
$\frac{(x+1) + (x-1)}{x^2-1} = 0$
$\frac{2x}{x^2-1} = 0$
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю: $2x=0$, откуда $x=0$.
Найденное значение $x=0$ удовлетворяет ОДЗ.
Следовательно, график функции пересекает ось x в точке, абсцисса которой равна 0. Ордината в этой точке также равна 0. Точка пересечения: (0, 0).
Ответ: график функции пересекает ось x в точке (0, 0).

$y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$
Приравняем функцию к нулю:
$\frac{x^2}{x^2 + 1} = 0$
Знаменатель $x^2+1$ всегда положителен (так как $x^2 \ge 0$, то $x^2+1 \ge 1$), поэтому ОДЗ — все действительные числа.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:
$x^2 = 0$
$x = 0$
График функции пересекает ось x в единственной точке (0, 0).
Ответ: график функции пересекает ось x в точке (0, 0).

$y = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}$
Приравняем функцию к нулю:
$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = 0$
ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+1)$:
$\frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)} = 0$
$\frac{x+1 - x + 1}{x^2 - 1} = 0$
$\frac{2}{x^2 - 1} = 0$
Данное уравнение не имеет решений, так как его числитель равен 2 и никогда не может быть равен нулю.
Следовательно, график функции не пересекает ось x.
Ответ: график функции не пересекает ось x.

412 Для заданного выражения определите:

1) существуют ли такие значения переменной, при которых значение выражения равно 0;

2) при каких значениях переменной выражение имеет смысл:

а) $\frac{y + \frac{1}{y-1}}{1 - \frac{1}{y+1}}$

б) $\frac{\frac{1}{c} + \frac{1}{c+1}}{\frac{1}{c} + \frac{1}{c-1}}$

в) $\frac{x}{x + \frac{2}{1 + \frac{x}{x+2}}}$

а)

Рассмотрим выражение $\frac{y + \frac{1}{y-1}}{1 - \frac{1}{y+1}}$.

Сначала упростим его. Преобразуем числитель и знаменатель:

Числитель: $y + \frac{1}{y-1} = \frac{y(y-1) + 1}{y-1} = \frac{y^2 - y + 1}{y-1}$.

Знаменатель: $1 - \frac{1}{y+1} = \frac{(y+1) - 1}{y+1} = \frac{y}{y+1}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{y^2 - y + 1}{y-1}}{\frac{y}{y+1}} = \frac{y^2 - y + 1}{y-1} \cdot \frac{y+1}{y} = \frac{(y^2 - y + 1)(y+1)}{y(y-1)}$.

1) существуют ли такие значения переменной, при которых значение выражения равно 0;

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (то есть значение переменной входит в область определения выражения).
Приравняем числитель к нулю: $(y^2 - y + 1)(y+1) = 0$.
Это уравнение распадается на два:
1) $y+1=0 \implies y=-1$.
2) $y^2 - y + 1 = 0$. Дискриминант этого квадратного уравнения $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Единственный возможный корень — это $y=-1$. Однако при $y=-1$ знаменатель исходного выражения $1 - \frac{1}{y+1}$ содержит деление на $y+1 = -1+1=0$, что недопустимо. Следовательно, при $y=-1$ выражение не имеет смысла.
Таким образом, не существует таких значений $y$, при которых выражение равно 0.

2) при каких значениях переменной выражение имеет смысл:

Выражение имеет смысл, если все знаменатели в его записи не равны нулю.
Из исходного выражения получаем следующие ограничения:
1. Знаменатель $y-1 \neq 0 \implies y \neq 1$.
2. Знаменатель $y+1 \neq 0 \implies y \neq -1$.
3. Знаменатель $1 - \frac{1}{y+1} \neq 0$. Решим $1 - \frac{1}{y+1} = 0 \implies 1 = \frac{1}{y+1} \implies y+1=1 \implies y=0$. Значит, $y \neq 0$.
Объединяя все условия, получаем, что выражение имеет смысл при всех $y$, кроме $y = -1, y = 0, y = 1$.

Ответ:
1) не существуют;
2) при $y \neq -1$, $y \neq 0$, $y \neq 1$.

б)

Рассмотрим выражение $\frac{\frac{1}{c} + \frac{1}{c+1}}{\frac{1}{c} + \frac{1}{c-1}}$.

Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: $\frac{1}{c} + \frac{1}{c+1} = \frac{c+1+c}{c(c+1)} = \frac{2c+1}{c(c+1)}$.

Знаменатель: $\frac{1}{c} + \frac{1}{c-1} = \frac{c-1+c}{c(c-1)} = \frac{2c-1}{c(c-1)}$.

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{2c+1}{c(c+1)}}{\frac{2c-1}{c(c-1)}} = \frac{2c+1}{c(c+1)} \cdot \frac{c(c-1)}{2c-1} = \frac{(2c+1)(c-1)}{(c+1)(2c-1)}$.

1) существуют ли такие значения переменной, при которых значение выражения равно 0;

Выражение равно нулю, если его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Приравняем числитель упрощенного выражения к нулю: $(2c+1)(c-1) = 0$.
Возможные корни:
1) $2c+1=0 \implies c = -1/2$.
2) $c-1=0 \implies c = 1$.
Проверим, входят ли эти значения в область определения. Как будет показано в следующем пункте, $c=1$ не входит в область определения, так как в исходном выражении есть знаменатель $c-1$. Значение $c=-1/2$ входит в область определения. Следовательно, при $c = -1/2$ выражение равно 0.

2) при каких значениях переменной выражение имеет смысл:

Выражение определено, если все знаменатели не равны нулю.
1. Из дробей $\frac{1}{c}$, $\frac{1}{c+1}$, $\frac{1}{c-1}$ следует, что $c \neq 0$, $c \neq -1$, $c \neq 1$.
2. Главный знаменатель $\frac{1}{c} + \frac{1}{c-1}$ не должен быть равен нулю. $\frac{2c-1}{c(c-1)} \neq 0 \implies 2c-1 \neq 0 \implies c \neq 1/2$.
Итак, выражение имеет смысл при всех $c$, кроме $c = -1, c = 0, c = 1/2, c = 1$.

Ответ:
1) существуют, при $c = -1/2$;
2) при $c \neq -1$, $c \neq 0$, $c \neq 1/2$, $c \neq 1$.

в)

Рассмотрим выражение $\frac{x}{x + \frac{2}{1 + \frac{x+2}{x}}}$.

Упростим выражение "изнутри":

$1 + \frac{x+2}{x} = \frac{x+x+2}{x} = \frac{2x+2}{x} = \frac{2(x+1)}{x}$.

Подставим это в выражение:

$\frac{x}{x + \frac{2}{\frac{2(x+1)}{x}}} = \frac{x}{x + \frac{2x}{2(x+1)}} = \frac{x}{x + \frac{x}{x+1}}$.

Теперь упростим знаменатель:

$x + \frac{x}{x+1} = \frac{x(x+1)+x}{x+1} = \frac{x^2+x+x}{x+1} = \frac{x^2+2x}{x+1} = \frac{x(x+2)}{x+1}$.

Подставим обратно в исходное выражение:

$\frac{x}{\frac{x(x+2)}{x+1}} = x \cdot \frac{x+1}{x(x+2)} = \frac{x(x+1)}{x(x+2)}$.

При $x \neq 0$ можно сократить дробь до $\frac{x+1}{x+2}$.

1) существуют ли такие значения переменной, при которых значение выражения равно 0;

Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а сама дробь при этом определена. Числитель исходного выражения равен $x$. Проверим, равно ли выражение нулю при $x=0$.
При $x=0$ в знаменателе исходного выражения появляется дробь $\frac{x+2}{x} = \frac{2}{0}$, которая не определена. Следовательно, все выражение не имеет смысла при $x=0$.
Рассмотрим числитель полученного после преобразований выражения $\frac{x(x+1)}{x(x+2)}$. Он равен $x(x+1)$ и обращается в ноль при $x=0$ или $x=-1$.
Как мы уже выяснили, $x=0$ не входит в область определения.
Проверим $x=-1$. При $x=-1$ один из знаменателей в исходной дроби, а именно $1 + \frac{x+2}{x}$, обращается в ноль: $1 + \frac{-1+2}{-1} = 1 - 1 = 0$. Деление на ноль недопустимо, значит при $x=-1$ выражение не имеет смысла.
Таким образом, не существует значений $x$, при которых выражение равно 0.

2) при каких значениях переменной выражение имеет смысл:

Выражение имеет смысл, если все знаменатели, встречающиеся в его записи, не равны нулю.
1. Из дроби $\frac{x+2}{x}$ следует, что $x \neq 0$.
2. Знаменатель $1 + \frac{x+2}{x}$ не равен нулю. $1 + \frac{x+2}{x} = \frac{2(x+1)}{x} \neq 0$, откуда $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.
3. Главный знаменатель $x + \frac{2}{1 + \frac{x+2}{x}}$ не равен нулю. Мы его упростили до $\frac{x(x+2)}{x+1}$. $\frac{x(x+2)}{x+1} \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
Собирая все ограничения, получаем, что выражение имеет смысл при $x \neq -2, x \neq -1, x \neq 0$.

Ответ:
1) не существуют;
2) при $x \neq -2$, $x \neq -1$, $x \neq 0$.

413 Решите уравнение:

а) $\frac{x}{x-4} - \frac{x}{x-2} = \frac{4}{(x-4)(x-2)}$

б) $\frac{x+2}{x-5} - \frac{3x}{(x-2)(x-5)} = \frac{2}{x-2}$

В) $\frac{x-1}{x-3} = \frac{x}{x-1} + \frac{4}{(x-1)(x-3)}$

Г) $\frac{2}{x-1} + \frac{5}{x+2} = \frac{13}{x^2+x-2}$

Д) $\frac{2}{x-1} + \frac{5}{x+2} = \frac{6}{x^2+x-2}$

е) $\frac{2x}{x+1} + \frac{6}{x^2-3x-4} = \frac{x-1}{x-4}$

а) Дано уравнение: $ \frac{x}{x-4} - \frac{x}{x-2} = \frac{4}{(x-4)(x-2)} $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $ x-4 \neq 0 $ и $ x-2 \neq 0 $. Таким образом, $ x \neq 4 $ и $ x \neq 2 $.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-4)(x-2) $ при условии, что он не равен нулю:
$ x(x-2) - x(x-4) = 4 $
Раскроем скобки и упростим выражение:
$ x^2 - 2x - (x^2 - 4x) = 4 $
$ x^2 - 2x - x^2 + 4x = 4 $
$ 2x = 4 $
$ x = 2 $
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Корень $ x=2 $ не входит в область допустимых значений, так как при $ x=2 $ знаменатель $ x-2 $ обращается в ноль. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

б) Дано уравнение: $ \frac{x+2}{x-5} - \frac{3x}{(x-2)(x-5)} = \frac{2}{x-2} $.
ОДЗ: $ x-5 \neq 0 $ и $ x-2 \neq 0 $, то есть $ x \neq 5 $ и $ x \neq 2 $.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-2)(x-5) $:
$ (x+2)(x-2) - 3x = 2(x-5) $
Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:
$ x^2 - 4 - 3x = 2x - 10 $
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$ x^2 - 3x - 2x - 4 + 10 = 0 $
$ x^2 - 5x + 6 = 0 $
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Корнями являются $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 3 $.
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $ x_1 = 2 $ является посторонним, так как он не входит в ОДЗ. Корень $ x_2 = 3 $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 3.

в) Дано уравнение: $ \frac{x-1}{x-3} = \frac{x}{x-1} + \frac{4}{(x-1)(x-3)} $.
ОДЗ: $ x-3 \neq 0 $ и $ x-1 \neq 0 $, то есть $ x \neq 3 $ и $ x \neq 1 $.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-1)(x-3) $:
$ (x-1)(x-1) = x(x-3) + 4 $
Раскроем скобки:
$ x^2 - 2x + 1 = x^2 - 3x + 4 $
Упростим уравнение, сократив $ x^2 $:
$ -2x + 1 = -3x + 4 $
$ -2x + 3x = 4 - 1 $
$ x = 3 $
Проверим корень на соответствие ОДЗ. Корень $ x=3 $ не входит в область допустимых значений. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

г) Дано уравнение: $ \frac{2}{x-1} + \frac{5}{x+2} = \frac{13}{x^2+x-2} $.
Разложим знаменатель в правой части на множители: $ x^2+x-2 = (x-1)(x+2) $.
Уравнение принимает вид: $ \frac{2}{x-1} + \frac{5}{x+2} = \frac{13}{(x-1)(x+2)} $.
ОДЗ: $ x-1 \neq 0 $ и $ x+2 \neq 0 $, то есть $ x \neq 1 $ и $ x \neq -2 $.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-1)(x+2) $:
$ 2(x+2) + 5(x-1) = 13 $
Раскроем скобки:
$ 2x + 4 + 5x - 5 = 13 $
$ 7x - 1 = 13 $
$ 7x = 14 $
$ x = 2 $
Корень $ x=2 $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 2.

д) Дано уравнение: $ \frac{2}{x-1} + \frac{5}{x+2} = \frac{6}{x^2+x-2} $.
Знаменатель в правой части $ x^2+x-2 $ раскладывается на множители $ (x-1)(x+2) $.
Уравнение принимает вид: $ \frac{2}{x-1} + \frac{5}{x+2} = \frac{6}{(x-1)(x+2)} $.
ОДЗ: $ x \neq 1 $ и $ x \neq -2 $.
Умножим обе части на $ (x-1)(x+2) $:
$ 2(x+2) + 5(x-1) = 6 $
$ 2x + 4 + 5x - 5 = 6 $
$ 7x - 1 = 6 $
$ 7x = 7 $
$ x = 1 $
Корень $ x=1 $ не входит в ОДЗ, следовательно, является посторонним. Уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

е) Дано уравнение: $ \frac{2x}{x+1} + \frac{6}{x^2-3x-4} = \frac{x-1}{x-4} $.
Разложим на множители знаменатель $ x^2-3x-4 $. Корни уравнения $ x^2-3x-4=0 $ по теореме Виета $ x_1=4, x_2=-1 $. Значит, $ x^2-3x-4 = (x-4)(x+1) $.
Уравнение принимает вид: $ \frac{2x}{x+1} + \frac{6}{(x-4)(x+1)} = \frac{x-1}{x-4} $.
ОДЗ: $ x+1 \neq 0 $ и $ x-4 \neq 0 $, то есть $ x \neq -1 $ и $ x \neq 4 $.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-4)(x+1) $:
$ 2x(x-4) + 6 = (x-1)(x+1) $
$ 2x^2 - 8x + 6 = x^2 - 1 $
$ 2x^2 - x^2 - 8x + 6 + 1 = 0 $
$ x^2 - 8x + 7 = 0 $
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение 7. Корнями являются $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 7 $.
Оба корня, $ x=1 $ и $ x=7 $, удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 1; 7.

Решите уравнение, используя подходящую подстановку

(414—415).

414 a) $\frac{15}{x^2+x+1} = 2(x^2+x)+1;$

б) $\frac{1}{x^2-3x-1} + \frac{1}{x^2-3x-2} = \frac{5}{x^2-3x+2};$

в) $\left(1+\frac{1}{x}\right)^2 - 5\left(2+\frac{1}{x}\right) + 11 = 0.$

а)

Дано уравнение: $ \frac{15}{x^2 + x + 1} = 2(x^2 + x) + 1 $.

Заметим, что в обеих частях уравнения повторяется выражение $x^2 + x$. Сделаем подстановку. Пусть $t = x^2 + x$.

Тогда уравнение примет вид:

$ \frac{15}{t + 1} = 2t + 1 $

Область допустимых значений для $t$ определяется условием $t + 1 \neq 0$, то есть $t \neq -1$. Также отметим, что знаменатель исходного уравнения $x^2 + x + 1$ всегда положителен, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$.

Решим полученное уравнение относительно $t$:

$15 = (2t + 1)(t + 1)$

$15 = 2t^2 + 2t + t + 1$

$2t^2 + 3t + 1 - 15 = 0$

$2t^2 + 3t - 14 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121 = 11^2$.

$t_1 = \frac{-3 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{-3 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2}$

Оба значения $t$ удовлетворяют условию $t \neq -1$.

Теперь выполним обратную подстановку.

1) Если $t = 2$, то:

$x^2 + x = 2$

$x^2 + x - 2 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

2) Если $t = -\frac{7}{2}$, то:

$x^2 + x = -\frac{7}{2}$

$x^2 + x + \frac{7}{2} = 0$

Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: $2x^2 + 2x + 7 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 4 - 56 = -52$.

Поскольку $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $1; -2$.

б)

Дано уравнение: $ \frac{1}{x^2 - 3x - 1} + \frac{1}{x^2 - 3x - 2} = \frac{5}{x^2 - 3x + 2} $.

Заметим, что во всех знаменателях присутствует выражение $x^2 - 3x$. Сделаем подстановку. Пусть $t = x^2 - 3x$.

Уравнение примет вид:

$ \frac{1}{t - 1} + \frac{1}{t - 2} = \frac{5}{t + 2} $

Область допустимых значений для $t$: $t \neq 1$, $t \neq 2$, $t \neq -2$.

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$ \frac{(t - 2) + (t - 1)}{(t - 1)(t - 2)} = \frac{5}{t + 2} $

$ \frac{2t - 3}{t^2 - 3t + 2} = \frac{5}{t + 2} $

Используем свойство пропорции:

$(2t - 3)(t + 2) = 5(t^2 - 3t + 2)$

$2t^2 + 4t - 3t - 6 = 5t^2 - 15t + 10$

$2t^2 + t - 6 = 5t^2 - 15t + 10$

$3t^2 - 16t + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 256 - 192 = 64 = 8^2$.

$t_1 = \frac{16 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$

$t_2 = \frac{16 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Оба значения $t$ удовлетворяют ОДЗ.

Выполним обратную подстановку.

1) Если $t = 4$, то:

$x^2 - 3x = 4$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

2) Если $t = \frac{4}{3}$, то:

$x^2 - 3x = \frac{4}{3}$

$3x^2 - 9x = 4$

$3x^2 - 9x - 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 81 + 48 = 129$.

$x_{3,4} = \frac{9 \pm \sqrt{129}}{2 \cdot 3} = \frac{9 \pm \sqrt{129}}{6}$.

Ответ: $4; -1; \frac{9 + \sqrt{129}}{6}; \frac{9 - \sqrt{129}}{6}$.

в)

Дано уравнение: $ (1 + \frac{1}{x})^2 - 5(2 + \frac{1}{x}) + 11 = 0 $.

Сделаем подстановку. Пусть $y = 1 + \frac{1}{x}$.

Выразим вторую скобку через $y$. Из подстановки имеем $\frac{1}{x} = y - 1$. Тогда $2 + \frac{1}{x} = 2 + (y-1) = y + 1$.

Подставим все в исходное уравнение:

$y^2 - 5(y+1) + 11 = 0$

$y^2 - 5y - 5 + 11 = 0$

$y^2 - 5y + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$.

Теперь выполним обратную подстановку.

1) Если $y = 2$, то:

$1 + \frac{1}{x} = 2$

$\frac{1}{x} = 1$

$x = 1$

2) Если $y = 3$, то:

$1 + \frac{1}{x} = 3$

$\frac{1}{x} = 2$

$x = \frac{1}{2}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $1; \frac{1}{2}$.

415 a) $x^2 - 3 + \frac{1}{x^2 - 3} = 2;$

б) $\frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = \frac{5}{2};$

В) $\frac{x + 1}{x^2} - \frac{3x^2}{x + 1} = \frac{1}{2}.$

а) $x^2 - 3 + \frac{1}{x^2 - 3} = 2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x^2 - 3 \neq 0$, что означает $x^2 \neq 3$, и, следовательно, $x \neq \pm\sqrt{3}$.

Это уравнение решается методом введения новой переменной. Заметим, что выражение $x^2 - 3$ повторяется. Сделаем замену: пусть $y = x^2 - 3$.

Тогда исходное уравнение примет вид:

$y + \frac{1}{y} = 2$

Умножим обе части уравнения на $y$ (при условии $y \neq 0$, что выполняется согласно ОДЗ):

$y^2 + 1 = 2y$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 - 2y + 1 = 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(y - 1)^2 = 0$

Отсюда следует, что $y - 1 = 0$, то есть $y = 1$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $x^2 - 3$ вместо $y$:

$x^2 - 3 = 1$

$x^2 = 4$

Из этого уравнения находим корни:

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Оба найденных корня удовлетворяют ОДЗ, так как они не равны $\pm\sqrt{3}$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -2$.

б) $\frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = \frac{5}{2}$

ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю, т.е. $x \neq 0$ и $x^2 + 1 \neq 0$. Условие $x^2 + 1 \neq 0$ выполняется для любого действительного числа $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 1 \ge 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$.

Заметим, что слагаемые в левой части уравнения являются взаимно обратными. Введем замену: пусть $y = \frac{x^2 + 1}{x}$.

Тогда второе слагаемое $\frac{x}{x^2 + 1}$ будет равно $\frac{1}{y}$. Уравнение примет вид:

$y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части уравнения на $2y$ (при $y \neq 0$):

$2y^2 + 2 = 5y$

Получим квадратное уравнение:

$2y^2 - 5y + 2 = 0$

Найдем его корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

$y_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Выполним обратную замену для каждого значения $y$.

1) $y = \frac{1}{2}$:

$\frac{x^2 + 1}{x} = \frac{1}{2}$

$2(x^2 + 1) = x$

$2x^2 - x + 2 = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

2) $y = 2$:

$\frac{x^2 + 1}{x} = 2$

$x^2 + 1 = 2x$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$.

Корень $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $x = 1$.

в) $\frac{x + 1}{x^2} - \frac{3x^2}{x + 1} = \frac{1}{2}$

ОДЗ: $x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Введем замену. Пусть $y = \frac{x + 1}{x^2}$. Тогда $\frac{x^2}{x+1} = \frac{1}{y}$.

Подставим $y$ в уравнение:

$y - 3 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$

$y - \frac{3}{y} = \frac{1}{2}$

Умножим обе части на $2y$ (при $y \neq 0$):

$2y^2 - 6 = y$

Получим квадратное уравнение:

$2y^2 - y - 6 = 0$

Найдем его корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

$y_1 = \frac{1 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

$y_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Выполним обратную замену для каждого значения $y$.

1) $y = -\frac{3}{2}$:

$\frac{x + 1}{x^2} = -\frac{3}{2}$

$2(x + 1) = -3x^2$

$3x^2 + 2x + 2 = 0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 4 - 24 = -20$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

2) $y = 2$:

$\frac{x + 1}{x^2} = 2$

$x + 1 = 2x^2$

$2x^2 - x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.

$x_1 = \frac{1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Оба корня $x_1 = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = 1$ удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0, x \neq -1$).

Ответ: $x_1 = -\frac{1}{2}, x_2 = 1$.