Номер 413, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 413, страница 169.

413 Решите уравнение:

а) $\frac{x}{x-4} - \frac{x}{x-2} = \frac{4}{(x-4)(x-2)}$

б) $\frac{x+2}{x-5} - \frac{3x}{(x-2)(x-5)} = \frac{2}{x-2}$

В) $\frac{x-1}{x-3} = \frac{x}{x-1} + \frac{4}{(x-1)(x-3)}$

Г) $\frac{2}{x-1} + \frac{5}{x+2} = \frac{13}{x^2+x-2}$

Д) $\frac{2}{x-1} + \frac{5}{x+2} = \frac{6}{x^2+x-2}$

е) $\frac{2x}{x+1} + \frac{6}{x^2-3x-4} = \frac{x-1}{x-4}$

а) Дано уравнение: $ \frac{x}{x-4} - \frac{x}{x-2} = \frac{4}{(x-4)(x-2)} $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $ x-4 \neq 0 $ и $ x-2 \neq 0 $. Таким образом, $ x \neq 4 $ и $ x \neq 2 $.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-4)(x-2) $ при условии, что он не равен нулю:
$ x(x-2) - x(x-4) = 4 $
Раскроем скобки и упростим выражение:
$ x^2 - 2x - (x^2 - 4x) = 4 $
$ x^2 - 2x - x^2 + 4x = 4 $
$ 2x = 4 $
$ x = 2 $
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Корень $ x=2 $ не входит в область допустимых значений, так как при $ x=2 $ знаменатель $ x-2 $ обращается в ноль. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

б) Дано уравнение: $ \frac{x+2}{x-5} - \frac{3x}{(x-2)(x-5)} = \frac{2}{x-2} $.
ОДЗ: $ x-5 \neq 0 $ и $ x-2 \neq 0 $, то есть $ x \neq 5 $ и $ x \neq 2 $.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-2)(x-5) $:
$ (x+2)(x-2) - 3x = 2(x-5) $
Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:
$ x^2 - 4 - 3x = 2x - 10 $
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$ x^2 - 3x - 2x - 4 + 10 = 0 $
$ x^2 - 5x + 6 = 0 $
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Корнями являются $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 3 $.
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $ x_1 = 2 $ является посторонним, так как он не входит в ОДЗ. Корень $ x_2 = 3 $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 3.

в) Дано уравнение: $ \frac{x-1}{x-3} = \frac{x}{x-1} + \frac{4}{(x-1)(x-3)} $.
ОДЗ: $ x-3 \neq 0 $ и $ x-1 \neq 0 $, то есть $ x \neq 3 $ и $ x \neq 1 $.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-1)(x-3) $:
$ (x-1)(x-1) = x(x-3) + 4 $
Раскроем скобки:
$ x^2 - 2x + 1 = x^2 - 3x + 4 $
Упростим уравнение, сократив $ x^2 $:
$ -2x + 1 = -3x + 4 $
$ -2x + 3x = 4 - 1 $
$ x = 3 $
Проверим корень на соответствие ОДЗ. Корень $ x=3 $ не входит в область допустимых значений. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

г) Дано уравнение: $ \frac{2}{x-1} + \frac{5}{x+2} = \frac{13}{x^2+x-2} $.
Разложим знаменатель в правой части на множители: $ x^2+x-2 = (x-1)(x+2) $.
Уравнение принимает вид: $ \frac{2}{x-1} + \frac{5}{x+2} = \frac{13}{(x-1)(x+2)} $.
ОДЗ: $ x-1 \neq 0 $ и $ x+2 \neq 0 $, то есть $ x \neq 1 $ и $ x \neq -2 $.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-1)(x+2) $:
$ 2(x+2) + 5(x-1) = 13 $
Раскроем скобки:
$ 2x + 4 + 5x - 5 = 13 $
$ 7x - 1 = 13 $
$ 7x = 14 $
$ x = 2 $
Корень $ x=2 $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 2.

д) Дано уравнение: $ \frac{2}{x-1} + \frac{5}{x+2} = \frac{6}{x^2+x-2} $.
Знаменатель в правой части $ x^2+x-2 $ раскладывается на множители $ (x-1)(x+2) $.
Уравнение принимает вид: $ \frac{2}{x-1} + \frac{5}{x+2} = \frac{6}{(x-1)(x+2)} $.
ОДЗ: $ x \neq 1 $ и $ x \neq -2 $.
Умножим обе части на $ (x-1)(x+2) $:
$ 2(x+2) + 5(x-1) = 6 $
$ 2x + 4 + 5x - 5 = 6 $
$ 7x - 1 = 6 $
$ 7x = 7 $
$ x = 1 $
Корень $ x=1 $ не входит в ОДЗ, следовательно, является посторонним. Уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

е) Дано уравнение: $ \frac{2x}{x+1} + \frac{6}{x^2-3x-4} = \frac{x-1}{x-4} $.
Разложим на множители знаменатель $ x^2-3x-4 $. Корни уравнения $ x^2-3x-4=0 $ по теореме Виета $ x_1=4, x_2=-1 $. Значит, $ x^2-3x-4 = (x-4)(x+1) $.
Уравнение принимает вид: $ \frac{2x}{x+1} + \frac{6}{(x-4)(x+1)} = \frac{x-1}{x-4} $.
ОДЗ: $ x+1 \neq 0 $ и $ x-4 \neq 0 $, то есть $ x \neq -1 $ и $ x \neq 4 $.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-4)(x+1) $:
$ 2x(x-4) + 6 = (x-1)(x+1) $
$ 2x^2 - 8x + 6 = x^2 - 1 $
$ 2x^2 - x^2 - 8x + 6 + 1 = 0 $
$ x^2 - 8x + 7 = 0 $
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение 7. Корнями являются $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 7 $.
Оба корня, $ x=1 $ и $ x=7 $, удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 1; 7.