Номер 409, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 409, страница 168.

409 a) $\frac{x^2}{x+4} = \frac{x}{x+1};$

б) $\frac{x^3+3}{x} = 3x+1;$

В) $\frac{x^2}{x^2+4} - \frac{1}{x^2-2} = 0;$

Г) $\frac{x}{x-2} + \frac{x^2}{2x-9} = 0.$

а)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2}{x+4} = \frac{x}{x+1} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю:

$x+4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$

$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{x^2}{x+4} - \frac{x}{x+1} = 0 $

$ \frac{x^2(x+1) - x(x+4)}{(x+4)(x+1)} = 0 $

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие на знаменатель мы уже учли в ОДЗ. Приравниваем числитель к нулю:

$ x^2(x+1) - x(x+4) = 0 $

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$ x(x(x+1) - (x+4)) = 0 $

$ x(x^2 + x - x - 4) = 0 $

$ x(x^2 - 4) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x = 0$

2) $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ или $x = -2$.

Получили три корня: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$. Все найденные корни принадлежат области допустимых значений.

Ответ: -2, 0, 2.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{x^3+3}{x} = 3x+1 $

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби, так как $x \neq 0$:

$ x^3+3 = x(3x+1) $

$ x^3+3 = 3x^2+x $

Перенесем все члены в левую часть:

$ x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0 $

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$ (x^3 - 3x^2) - (x - 3) = 0 $

Вынесем общие множители из каждой группы:

$ x^2(x - 3) - 1(x - 3) = 0 $

Вынесем общий множитель $(x - 3)$:

$ (x - 3)(x^2 - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

2) $x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1$ или $x = -1$.

Получили три корня: $x_1 = 3$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$. Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -1, 1, 3.

в)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2}{x^2+4} - \frac{1}{x^2-2} = 0 $

Определим ОДЗ. Знаменатели не равны нулю:

1) $x^2+4 \neq 0$. Так как $x^2 \geq 0$ для любого действительного $x$, то $x^2+4 \geq 4$. Это выражение никогда не равно нулю.

2) $x^2-2 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 2 \Rightarrow x \neq \sqrt{2}$ и $x \neq -\sqrt{2}$.

Перенесем вторую дробь в правую часть:

$ \frac{x^2}{x^2+4} = \frac{1}{x^2-2} $

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$ x^2(x^2-2) = 1(x^2+4) $

$ x^4 - 2x^2 = x^2 + 4 $

Перенесем все в левую часть, чтобы получить биквадратное уравнение:

$ x^4 - 3x^2 - 4 = 0 $

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \geq 0$, то и $t \geq 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$ t^2 - 3t - 4 = 0 $

Решим его. По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \geq 0$, поэтому отбрасываем его.

Остается $t_1 = 4$. Вернемся к исходной переменной $x$:

$ x^2 = 4 $

$ x = 2$ или $x = -2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -2, 2.

г)

Исходное уравнение: $ \frac{x}{x-2} + \frac{x^2}{2x-9} = 0 $

Область допустимых значений (ОДЗ):

$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

$2x-9 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq 9 \Rightarrow x \neq 4.5$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-2)(2x-9)$:

$ \frac{x(2x-9) + x^2(x-2)}{(x-2)(2x-9)} = 0 $

Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен.

$ x(2x-9) + x^2(x-2) = 0 $

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$ x((2x-9) + x(x-2)) = 0 $

Раскроем скобки внутри и приведем подобные слагаемые:

$ x(2x - 9 + x^2 - 2x) = 0 $

$ x(x^2 - 9) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x = 0$

2) $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ или $x = -3$.

Получили три корня: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$, $x_3 = -3$. Все корни входят в ОДЗ.

Ответ: -3, 0, 3.