Номер 404, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 404, страница 167.

404 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Даны две дроби $\frac{a+2}{a-1}$ и $\frac{a-1}{a+2}$. Найдите значения переменной $a$, при которых:

а) значение первой дроби равно 10;

б) значение второй дроби равно 10;

в) значения этих дробей равны;

г) разность первой и второй дробей равна их произведению.

а) Чтобы найти значение переменной a, при котором значение первой дроби $\frac{a+2}{a-1}$ равно 10, составим и решим уравнение.
$\frac{a+2}{a-1} = 10$
Область допустимых значений (ОДЗ) для этой дроби: $a-1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$.
Умножим обе части уравнения на $(a-1)$, чтобы избавиться от знаменателя:
$a+2 = 10(a-1)$
$a+2 = 10a - 10$
Перенесем слагаемые с переменной a в одну сторону, а числовые значения — в другую:
$2+10 = 10a - a$
$12 = 9a$
$a = \frac{12}{9}$
Сократим дробь:
$a = \frac{4}{3}$
Полученное значение $a = \frac{4}{3}$ не противоречит ОДЗ.
Ответ: $a = \frac{4}{3}$.

б) Чтобы найти значение переменной a, при котором значение второй дроби $\frac{a-1}{a+2}$ равно 10, составим и решим уравнение.
$\frac{a-1}{a+2} = 10$
ОДЗ для этой дроби: $a+2 \neq 0$, то есть $a \neq -2$.
Умножим обе части уравнения на $(a+2)$:
$a-1 = 10(a+2)$
$a-1 = 10a + 20$
$-1-20 = 10a - a$
$-21 = 9a$
$a = -\frac{21}{9}$
Сократим дробь:
$a = -\frac{7}{3}$
Полученное значение $a = -\frac{7}{3}$ не противоречит ОДЗ.
Ответ: $a = -\frac{7}{3}$.

в) Чтобы найти значения переменной a, при которых значения этих дробей равны, приравняем их друг к другу.
$\frac{a+2}{a-1} = \frac{a-1}{a+2}$
ОДЗ: $a \neq 1$ и $a \neq -2$.
Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$(a+2)(a+2) = (a-1)(a-1)$
$(a+2)^2 = (a-1)^2$
Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$a^2 + 4a + 4 = a^2 - 2a + 1$
Вычтем $a^2$ из обеих частей уравнения:
$4a + 4 = -2a + 1$
$4a + 2a = 1 - 4$
$6a = -3$
$a = -\frac{3}{6}$
Сократим дробь:
$a = -\frac{1}{2}$
Полученное значение $a = -\frac{1}{2}$ не противоречит ОДЗ.
Ответ: $a = -\frac{1}{2}$.

г) Чтобы найти значения переменной a, при которых разность первой и второй дробей равна их произведению, составим уравнение.
$\frac{a+2}{a-1} - \frac{a-1}{a+2} = \left(\frac{a+2}{a-1}\right) \cdot \left(\frac{a-1}{a+2}\right)$
ОДЗ: $a \neq 1$ и $a \neq -2$.
Упростим правую часть уравнения. Так как $a \neq 1$ и $a \neq -2$, мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$\left(\frac{a+2}{a-1}\right) \cdot \left(\frac{a-1}{a+2}\right) = 1$
Теперь уравнение имеет вид:
$\frac{a+2}{a-1} - \frac{a-1}{a+2} = 1$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(a-1)(a+2)$:
$\frac{(a+2)^2 - (a-1)^2}{(a-1)(a+2)} = 1$
Упростим числитель, используя формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$(a+2)^2 - (a-1)^2 = ((a+2)-(a-1))((a+2)+(a-1)) = (a+2-a+1)(a+2+a-1) = (3)(2a+1) = 6a+3$.
Упростим знаменатель: $(a-1)(a+2) = a^2+2a-a-2 = a^2+a-2$.
Подставим упрощенные выражения в уравнение:
$\frac{6a+3}{a^2+a-2} = 1$
Умножим обе части на знаменатель:
$6a+3 = a^2+a-2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$a^2 + a - 6a - 2 - 3 = 0$
$a^2 - 5a - 5 = 0$
Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(-5) = 25 + 20 = 45$
$a = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{9 \cdot 5}}{2} = \frac{5 \pm 3\sqrt{5}}{2}$
Мы получили два корня: $a_1 = \frac{5+3\sqrt{5}}{2}$ и $a_2 = \frac{5-3\sqrt{5}}{2}$. Оба корня не противоречат ОДЗ.
Ответ: $a = \frac{5+3\sqrt{5}}{2}, a = \frac{5-3\sqrt{5}}{2}$.