Номер 399, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 399, страница 166.

399 Применяем алгебру

а) Известно, что сумма некоторого числа и числа, ему обратного, равна $2,9$. Найдите это число.

б) Известно, что если из данного числа вычесть число, ему обратное, то получится $0,45$. Найдите данное число.

а)

Пусть искомое число - это $x$. Тогда число, ему обратное, равно $\frac{1}{x}$. Согласно условию задачи, сумма этого числа и ему обратного равна 2,9. Составим уравнение:

$x + \frac{1}{x} = 2,9$

Это уравнение определено для всех $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$x \cdot x + x \cdot \frac{1}{x} = 2,9 \cdot x$

$x^2 + 1 = 2,9x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2,9x + 1 = 0$

Для удобства вычислений умножим уравнение на 10, чтобы работать с целыми коэффициентами:

$10x^2 - 29x + 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-29)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 10 = 841 - 400 = 441$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-29) + \sqrt{441}}{2 \cdot 10} = \frac{29 + 21}{20} = \frac{50}{20} = 2,5$

$x_2 = \frac{-(-29) - \sqrt{441}}{2 \cdot 10} = \frac{29 - 21}{20} = \frac{8}{20} = 0,4$

Оба найденных числа являются решениями, так как они взаимно обратны: $\frac{1}{2,5} = 0,4$. Проверка: $2,5 + 0,4 = 2,9$.

Ответ: 2,5 или 0,4.

б)

Пусть искомое число - это $y$. Тогда число, ему обратное, равно $\frac{1}{y}$. По условию, разность этого числа и ему обратного равна 0,45. Составим уравнение:

$y - \frac{1}{y} = 0,45$

Уравнение имеет смысл при $y \neq 0$. Умножим обе части на $y$:

$y \cdot y - y \cdot \frac{1}{y} = 0,45 \cdot y$

$y^2 - 1 = 0,45y$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$y^2 - 0,45y - 1 = 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, представим 0,45 как $\frac{45}{100}$ или $\frac{9}{20}$ и умножим все уравнение на 20:

$20y^2 - 9y - 20 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-20) = 81 + 1600 = 1681$

Найдем корни уравнения по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{1681}}{2 \cdot 20} = \frac{9 + 41}{40} = \frac{50}{40} = \frac{5}{4} = 1,25$

$y_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{1681}}{2 \cdot 20} = \frac{9 - 41}{40} = \frac{-32}{40} = -\frac{4}{5} = -0,8$

Проверим оба решения.
Для $y=1,25$: обратное число равно $\frac{1}{1,25} = 0,8$. Разность: $1,25 - 0,8 = 0,45$.
Для $y=-0,8$: обратное число равно $\frac{1}{-0,8} = -1,25$. Разность: $-0,8 - (-1,25) = -0,8 + 1,25 = 0,45$.
Оба корня удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 1,25 или -0,8.