Номер 405, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 405, страница 167.

ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ (405-407) Решите уравнение.

405 а) $\frac{x+2}{x+1} + \frac{x+3}{x-1} = \frac{4}{x^2-1}$;

б) $\frac{4-x}{x+2} + \frac{x-1}{x-2} = \frac{x^2}{x^2-4}$;

в) $\frac{2x}{x+3} - \frac{x}{3-x} = \frac{9}{4x^2-36}$;

г) $\frac{5}{x^2-4} + \frac{x}{2-x} = \frac{2x}{x+2}$.

а)

Исходное уравнение: $\frac{x+2}{x+1} + \frac{x+3}{x-1} = \frac{4}{x^2-1}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.
$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$
$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$
$x^2-1 = (x-1)(x+1) \neq 0$, что уже учтено.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pm 1$.

2. Приведем все дроби к общему знаменателю $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на $(x-1)$, а второй — на $(x+1)$.

$\frac{(x+2)(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{(x+3)(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{4}{x^2-1}$

3. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-1)(x+1)$, чтобы избавиться от него, учитывая ОДЗ.

$(x+2)(x-1) + (x+3)(x+1) = 4$

4. Раскроем скобки и упростим выражение.

$(x^2 - x + 2x - 2) + (x^2 + x + 3x + 3) = 4$
$(x^2 + x - 2) + (x^2 + 4x + 3) = 4$
$2x^2 + 5x + 1 = 4$

5. Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$.

$2x^2 + 5x - 3 = 0$

6. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5+7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5-7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$

7. Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ. Оба корня $0.5$ и $-3$ не равны $1$ или $-1$, следовательно, являются решениями уравнения.

Ответ: -3; 0,5.

б)

Исходное уравнение: $\frac{4-x}{x+2} + \frac{x-1}{x-2} = \frac{x^2}{x^2-4}$.

1. ОДЗ: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$; $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$. Итак, $x \neq \pm 2$.

2. Общий знаменатель $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель.

$(4-x)(x-2) + (x-1)(x+2) = x^2$

3. Раскроем скобки.

$(4x - 8 - x^2 + 2x) + (x^2 + 2x - x - 2) = x^2$
$(-x^2 + 6x - 8) + (x^2 + x - 2) = x^2$

4. Приведем подобные слагаемые.

$7x - 10 = x^2$

5. Приведем к стандартному квадратному виду.

$x^2 - 7x + 10 = 0$

6. Решим уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение 10. Отсюда $x_1=5$, $x_2=2$.
Либо через дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.
$x_1 = \frac{7+\sqrt{9}}{2} = \frac{7+3}{2} = 5$
$x_2 = \frac{7-\sqrt{9}}{2} = \frac{7-3}{2} = 2$

7. Проверим корни по ОДЗ. Корень $x=5$ удовлетворяет условию $x \neq \pm 2$. Корень $x=2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели обращаются в ноль. Следовательно, $x=2$ — посторонний корень.

Ответ: 5.

в)

Исходное уравнение: $\frac{2x}{x+3} - \frac{x}{3-x} = \frac{9}{4x^2-36}$.

1. Преобразуем знаменатели для нахождения общего: $3-x = -(x-3)$ и $4x^2-36 = 4(x^2-9) = 4(x-3)(x+3)$.

Перепишем уравнение:

$\frac{2x}{x+3} + \frac{x}{x-3} = \frac{9}{4(x-3)(x+3)}$

2. ОДЗ: $x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$; $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$. Итак, $x \neq \pm 3$.

3. Общий знаменатель $4(x-3)(x+3)$. Умножим обе части уравнения на него.

$2x \cdot 4(x-3) + x \cdot 4(x+3) = 9$

4. Раскроем скобки и упростим.

$8x(x-3) + 4x(x+3) = 9$
$8x^2 - 24x + 4x^2 + 12x = 9$
$12x^2 - 12x - 9 = 0$

5. Упростим уравнение, разделив все его члены на 3.

$4x^2 - 4x - 3 = 0$

6. Решим квадратное уравнение. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$.

$x_1 = \frac{4+\sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4+8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$

$x_2 = \frac{4-\sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4-8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} = -0.5$

7. Оба корня $1.5$ и $-0.5$ удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 3$).

Ответ: -0,5; 1,5.

г)

Исходное уравнение: $\frac{5}{x^2-4} + \frac{x}{2-x} = \frac{2x}{x+2}$.

1. Преобразуем знаменатели: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ и $2-x = -(x-2)$.

Перепишем уравнение:

$\frac{5}{(x-2)(x+2)} - \frac{x}{x-2} = \frac{2x}{x+2}$

2. ОДЗ: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$; $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$. Итак, $x \neq \pm 2$.

3. Общий знаменатель $(x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него.

$5 - x(x+2) = 2x(x-2)$

4. Раскроем скобки.

$5 - x^2 - 2x = 2x^2 - 4x$

5. Перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные.

$2x^2 - 4x + x^2 + 2x - 5 = 0$
$3x^2 - 2x - 5 = 0$

6. Решим квадратное уравнение. $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$.

$x_1 = \frac{2+\sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{2+8}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

$x_2 = \frac{2-\sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{2-8}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

7. Оба корня $\frac{5}{3}$ и $-1$ удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 2$).

Ответ: -1; $\frac{5}{3}$.