Номер 412, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 412, страница 169.

412 Для заданного выражения определите:

1) существуют ли такие значения переменной, при которых значение выражения равно 0;

2) при каких значениях переменной выражение имеет смысл:

а) $\frac{y + \frac{1}{y-1}}{1 - \frac{1}{y+1}}$

б) $\frac{\frac{1}{c} + \frac{1}{c+1}}{\frac{1}{c} + \frac{1}{c-1}}$

в) $\frac{x}{x + \frac{2}{1 + \frac{x}{x+2}}}$

а)

Рассмотрим выражение $\frac{y + \frac{1}{y-1}}{1 - \frac{1}{y+1}}$.

Сначала упростим его. Преобразуем числитель и знаменатель:

Числитель: $y + \frac{1}{y-1} = \frac{y(y-1) + 1}{y-1} = \frac{y^2 - y + 1}{y-1}$.

Знаменатель: $1 - \frac{1}{y+1} = \frac{(y+1) - 1}{y+1} = \frac{y}{y+1}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{y^2 - y + 1}{y-1}}{\frac{y}{y+1}} = \frac{y^2 - y + 1}{y-1} \cdot \frac{y+1}{y} = \frac{(y^2 - y + 1)(y+1)}{y(y-1)}$.

1) существуют ли такие значения переменной, при которых значение выражения равно 0;

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (то есть значение переменной входит в область определения выражения).
Приравняем числитель к нулю: $(y^2 - y + 1)(y+1) = 0$.
Это уравнение распадается на два:
1) $y+1=0 \implies y=-1$.
2) $y^2 - y + 1 = 0$. Дискриминант этого квадратного уравнения $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Единственный возможный корень — это $y=-1$. Однако при $y=-1$ знаменатель исходного выражения $1 - \frac{1}{y+1}$ содержит деление на $y+1 = -1+1=0$, что недопустимо. Следовательно, при $y=-1$ выражение не имеет смысла.
Таким образом, не существует таких значений $y$, при которых выражение равно 0.

2) при каких значениях переменной выражение имеет смысл:

Выражение имеет смысл, если все знаменатели в его записи не равны нулю.
Из исходного выражения получаем следующие ограничения:
1. Знаменатель $y-1 \neq 0 \implies y \neq 1$.
2. Знаменатель $y+1 \neq 0 \implies y \neq -1$.
3. Знаменатель $1 - \frac{1}{y+1} \neq 0$. Решим $1 - \frac{1}{y+1} = 0 \implies 1 = \frac{1}{y+1} \implies y+1=1 \implies y=0$. Значит, $y \neq 0$.
Объединяя все условия, получаем, что выражение имеет смысл при всех $y$, кроме $y = -1, y = 0, y = 1$.

Ответ:
1) не существуют;
2) при $y \neq -1$, $y \neq 0$, $y \neq 1$.

б)

Рассмотрим выражение $\frac{\frac{1}{c} + \frac{1}{c+1}}{\frac{1}{c} + \frac{1}{c-1}}$.

Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: $\frac{1}{c} + \frac{1}{c+1} = \frac{c+1+c}{c(c+1)} = \frac{2c+1}{c(c+1)}$.

Знаменатель: $\frac{1}{c} + \frac{1}{c-1} = \frac{c-1+c}{c(c-1)} = \frac{2c-1}{c(c-1)}$.

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{2c+1}{c(c+1)}}{\frac{2c-1}{c(c-1)}} = \frac{2c+1}{c(c+1)} \cdot \frac{c(c-1)}{2c-1} = \frac{(2c+1)(c-1)}{(c+1)(2c-1)}$.

1) существуют ли такие значения переменной, при которых значение выражения равно 0;

Выражение равно нулю, если его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Приравняем числитель упрощенного выражения к нулю: $(2c+1)(c-1) = 0$.
Возможные корни:
1) $2c+1=0 \implies c = -1/2$.
2) $c-1=0 \implies c = 1$.
Проверим, входят ли эти значения в область определения. Как будет показано в следующем пункте, $c=1$ не входит в область определения, так как в исходном выражении есть знаменатель $c-1$. Значение $c=-1/2$ входит в область определения. Следовательно, при $c = -1/2$ выражение равно 0.

2) при каких значениях переменной выражение имеет смысл:

Выражение определено, если все знаменатели не равны нулю.
1. Из дробей $\frac{1}{c}$, $\frac{1}{c+1}$, $\frac{1}{c-1}$ следует, что $c \neq 0$, $c \neq -1$, $c \neq 1$.
2. Главный знаменатель $\frac{1}{c} + \frac{1}{c-1}$ не должен быть равен нулю. $\frac{2c-1}{c(c-1)} \neq 0 \implies 2c-1 \neq 0 \implies c \neq 1/2$.
Итак, выражение имеет смысл при всех $c$, кроме $c = -1, c = 0, c = 1/2, c = 1$.

Ответ:
1) существуют, при $c = -1/2$;
2) при $c \neq -1$, $c \neq 0$, $c \neq 1/2$, $c \neq 1$.

в)

Рассмотрим выражение $\frac{x}{x + \frac{2}{1 + \frac{x+2}{x}}}$.

Упростим выражение "изнутри":

$1 + \frac{x+2}{x} = \frac{x+x+2}{x} = \frac{2x+2}{x} = \frac{2(x+1)}{x}$.

Подставим это в выражение:

$\frac{x}{x + \frac{2}{\frac{2(x+1)}{x}}} = \frac{x}{x + \frac{2x}{2(x+1)}} = \frac{x}{x + \frac{x}{x+1}}$.

Теперь упростим знаменатель:

$x + \frac{x}{x+1} = \frac{x(x+1)+x}{x+1} = \frac{x^2+x+x}{x+1} = \frac{x^2+2x}{x+1} = \frac{x(x+2)}{x+1}$.

Подставим обратно в исходное выражение:

$\frac{x}{\frac{x(x+2)}{x+1}} = x \cdot \frac{x+1}{x(x+2)} = \frac{x(x+1)}{x(x+2)}$.

При $x \neq 0$ можно сократить дробь до $\frac{x+1}{x+2}$.

1) существуют ли такие значения переменной, при которых значение выражения равно 0;

Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а сама дробь при этом определена. Числитель исходного выражения равен $x$. Проверим, равно ли выражение нулю при $x=0$.
При $x=0$ в знаменателе исходного выражения появляется дробь $\frac{x+2}{x} = \frac{2}{0}$, которая не определена. Следовательно, все выражение не имеет смысла при $x=0$.
Рассмотрим числитель полученного после преобразований выражения $\frac{x(x+1)}{x(x+2)}$. Он равен $x(x+1)$ и обращается в ноль при $x=0$ или $x=-1$.
Как мы уже выяснили, $x=0$ не входит в область определения.
Проверим $x=-1$. При $x=-1$ один из знаменателей в исходной дроби, а именно $1 + \frac{x+2}{x}$, обращается в ноль: $1 + \frac{-1+2}{-1} = 1 - 1 = 0$. Деление на ноль недопустимо, значит при $x=-1$ выражение не имеет смысла.
Таким образом, не существует значений $x$, при которых выражение равно 0.

2) при каких значениях переменной выражение имеет смысл:

Выражение имеет смысл, если все знаменатели, встречающиеся в его записи, не равны нулю.
1. Из дроби $\frac{x+2}{x}$ следует, что $x \neq 0$.
2. Знаменатель $1 + \frac{x+2}{x}$ не равен нулю. $1 + \frac{x+2}{x} = \frac{2(x+1)}{x} \neq 0$, откуда $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.
3. Главный знаменатель $x + \frac{2}{1 + \frac{x+2}{x}}$ не равен нулю. Мы его упростили до $\frac{x(x+2)}{x+1}$. $\frac{x(x+2)}{x+1} \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
Собирая все ограничения, получаем, что выражение имеет смысл при $x \neq -2, x \neq -1, x \neq 0$.

Ответ:
1) не существуют;
2) при $x \neq -2$, $x \neq -1$, $x \neq 0$.